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- En théorie des probabilités, l'inégalité de Boole affirme que, pour toute famille finie ou dénombrable d'événements, la probabilité que l'un au moins des événements se réalise est inférieure ou égale à la somme des probabilités des événements pris isolément. Plus formellement, Inégalité de Boole — Pour une famille au plus dénombrable d'événements A1, A2, A3, …, on a : Démonstration
* Première démonstration. On traite d'abord, par récurrence, le cas d'une famille finie d'évènements. Il s'agit de prouver que . L'inégalité est vraie au rang . On la suppose vraie à un rang et l'on considère une famille de évènements. Soit : (hypothèse de récurrence). Alors : , d'où : . On traite maintenant le cas d'une suite dénombrable d'évènements. Pour tout entier strictement positif , soit ; alors . L'inégalité de Boole en découle par passage à la limite sur ; en effet, et pour tout , , donc .
* Autre méthode (traitant à la fois le cas fini et le cas dénombrable). On pose et pour tout , . Alors , et les évènements sont deux à deux incompatibles ;en outre, pour tout , donc (croissance de ). De tout ceci, il résulte : . En termes de la théorie de la mesure, l'inégalité de Boole exprime le fait qu'une mesure de probabilité est σ-sous-additive (comme toute mesure). Conséquence — L'intersection d'une famille finie ou dénombrable d'évènements presque certains, B1, B2, B3, …, est presque certaine (il suffit d'appliquer l'inégalité de Boole aux complémentaires des Bn). (fr)
- En théorie des probabilités, l'inégalité de Boole affirme que, pour toute famille finie ou dénombrable d'événements, la probabilité que l'un au moins des événements se réalise est inférieure ou égale à la somme des probabilités des événements pris isolément. Plus formellement, Inégalité de Boole — Pour une famille au plus dénombrable d'événements A1, A2, A3, …, on a : Démonstration
* Première démonstration. On traite d'abord, par récurrence, le cas d'une famille finie d'évènements. Il s'agit de prouver que . L'inégalité est vraie au rang . On la suppose vraie à un rang et l'on considère une famille de évènements. Soit : (hypothèse de récurrence). Alors : , d'où : . On traite maintenant le cas d'une suite dénombrable d'évènements. Pour tout entier strictement positif , soit ; alors . L'inégalité de Boole en découle par passage à la limite sur ; en effet, et pour tout , , donc .
* Autre méthode (traitant à la fois le cas fini et le cas dénombrable). On pose et pour tout , . Alors , et les évènements sont deux à deux incompatibles ;en outre, pour tout , donc (croissance de ). De tout ceci, il résulte : . En termes de la théorie de la mesure, l'inégalité de Boole exprime le fait qu'une mesure de probabilité est σ-sous-additive (comme toute mesure). Conséquence — L'intersection d'une famille finie ou dénombrable d'évènements presque certains, B1, B2, B3, …, est presque certaine (il suffit d'appliquer l'inégalité de Boole aux complémentaires des Bn). (fr)
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- En théorie des probabilités, l'inégalité de Boole affirme que, pour toute famille finie ou dénombrable d'événements, la probabilité que l'un au moins des événements se réalise est inférieure ou égale à la somme des probabilités des événements pris isolément. Plus formellement, Inégalité de Boole — Pour une famille au plus dénombrable d'événements A1, A2, A3, …, on a : Démonstration
* Première démonstration. On traite d'abord, par récurrence, le cas d'une famille finie d'évènements. Il s'agit de prouver que . Soit : (hypothèse de récurrence). Alors : , d'où : . On pose et pour tout , . (fr)
- En théorie des probabilités, l'inégalité de Boole affirme que, pour toute famille finie ou dénombrable d'événements, la probabilité que l'un au moins des événements se réalise est inférieure ou égale à la somme des probabilités des événements pris isolément. Plus formellement, Inégalité de Boole — Pour une famille au plus dénombrable d'événements A1, A2, A3, …, on a : Démonstration
* Première démonstration. On traite d'abord, par récurrence, le cas d'une famille finie d'évènements. Il s'agit de prouver que . Soit : (hypothèse de récurrence). Alors : , d'où : . On pose et pour tout , . (fr)
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