En théorie de la mesure sur les espaces topologiques, un ensemble extérieurement régulier est une partie mesurable qui, au sens de la mesure, peut être approchée par des ouverts qui la contiennent.

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  • En théorie de la mesure sur les espaces topologiques, un ensemble extérieurement régulier est une partie mesurable qui, au sens de la mesure, peut être approchée par des ouverts qui la contiennent. Une mesure extérieurement régulière est une mesure positive pour laquelle tous les boréliens sont extérieurement réguliers.En première approche, cette hypothèse intervient principalement dans la définition d'une mesure régulière : c'est une des deux conditions de régularité, l'autre étant la régularité intérieure. La régularité établit des ponts assez directs entre les points de vue topologique et mesuré.Certaines hypothèses, sans garantir la régularité, assurent tout de même la régularité extérieure : ainsi, par exemple, toute mesure de probabilité sur un espace métrisable séparable (même non polonais) est extérieurement régulière.Dans la théorie de l'intégration sur des espaces localements compacts séparés suffisamment généraux, il n'est pas toujours possible de représenter une forme linéaire continue sur l'espace des fonctions continues à support compact à l'aide de mesures régulières. En revanche, même sur un espace non σ-compact (en), le théorème de représentation de Riesz fournit toujours une mesure extérieurement régulière privilégiée (on la dit σ-régulière) qui peut servir d'outil pour l'analyse fonctionnelle sur cet espace.On trouvera aussi au long de l'article une collection d'exemples et de contre-exemples, simples ou plus saugrenus, qui illustrent les relations parfois surprenantes de la régularité extérieure avec les autres axiomes de régularité, en particulier la régularité intérieure mais également la régularité intérieure vis-à-vis des fermés.
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