| Property |
Value |
| dbo:abstract
|
- En géométrie plane, le théorème de Cotes sur le cercle établit une relation entre les distances d'un point aux sommets d'un polygône régulier et la distance de ce point au centre du polygone. Énoncé en 1716 par Roger Cotes, il se démontre en général par l'utilisation des complexes. Il sert à factoriser les polynômes et permet de décomposer des fractions rationnelles en éléments simples. Il permet également de mettre en évidence des formules trigonométriques. (fr)
- En géométrie plane, le théorème de Cotes sur le cercle établit une relation entre les distances d'un point aux sommets d'un polygône régulier et la distance de ce point au centre du polygone. Énoncé en 1716 par Roger Cotes, il se démontre en général par l'utilisation des complexes. Il sert à factoriser les polynômes et permet de décomposer des fractions rationnelles en éléments simples. Il permet également de mettre en évidence des formules trigonométriques. (fr)
|
| dbo:namedAfter
| |
| dbo:thumbnail
| |
| dbo:wikiPageExternalLink
| |
| dbo:wikiPageID
| |
| dbo:wikiPageLength
|
- 8485 (xsd:nonNegativeInteger)
|
| dbo:wikiPageRevisionID
| |
| dbo:wikiPageWikiLink
| |
| prop-fr:année
|
- 1793 (xsd:integer)
- 1801 (xsd:integer)
- 1874 (xsd:integer)
- 2002 (xsd:integer)
|
| prop-fr:contenu
|
- On peut, sans perte de généralité, supposer que le cercle est de rayon 1. En élevant au carré le produit des distances et en nommant la distance OM, il s'agit de démontrer, pour la première formule, que
:
Grâce, au théorème d'Al-Kashi, on sait que
:
On pose alors
: et
Il s'agit donc de prouver que
:
Or on sait que, en utilisant le polynôme de Tchebychev de première espèce que
:
et en l'appliquant aux angles précédents
:
Les sont donc les n racines du polynôme . On a donc l'égalité
:
Il s'agit donc de prouver que
:
Ce qui se fait aisément, par exemple par récurrence, sachant que
: (fr)
- On se contente de découper le cercle en n parties égales, obtenant ainsi les points d'affixes . Le point M d'affixe est choisi quelconque dans le plan complexe. La distance correspond au module de . On a ainsi
:
Or donc les sont les n racines du polynôme . On a alors
:
Si le point M est d'affixe réelle positive, on obtient la première égalité du théorème de Cotes. Si le point M a pour affixe , on obtient la seconde égalité du théorème de Cotes. Enfin si et , en élevant au carré l'égalité on obtient, grâce au théorème d'Al-Kashi
:
: (fr)
- On peut, sans perte de généralité, supposer que le cercle est de rayon 1. En élevant au carré le produit des distances et en nommant la distance OM, il s'agit de démontrer, pour la première formule, que
:
Grâce, au théorème d'Al-Kashi, on sait que
:
On pose alors
: et
Il s'agit donc de prouver que
:
Or on sait que, en utilisant le polynôme de Tchebychev de première espèce que
:
et en l'appliquant aux angles précédents
:
Les sont donc les n racines du polynôme . On a donc l'égalité
:
Il s'agit donc de prouver que
:
Ce qui se fait aisément, par exemple par récurrence, sachant que
: (fr)
- On se contente de découper le cercle en n parties égales, obtenant ainsi les points d'affixes . Le point M d'affixe est choisi quelconque dans le plan complexe. La distance correspond au module de . On a ainsi
:
Or donc les sont les n racines du polynôme . On a alors
:
Si le point M est d'affixe réelle positive, on obtient la première égalité du théorème de Cotes. Si le point M a pour affixe , on obtient la seconde égalité du théorème de Cotes. Enfin si et , en élevant au carré l'égalité on obtient, grâce au théorème d'Al-Kashi
:
: (fr)
|
| prop-fr:langue
| |
| prop-fr:lireEnLigne
| |
| prop-fr:nom
|
- Lhuillier (fr)
- Griffiths (fr)
- Gowing (fr)
- Argand (fr)
- Lhuillier (fr)
- Griffiths (fr)
- Gowing (fr)
- Argand (fr)
|
| prop-fr:prénom
|
- Ronald (fr)
- Ralph (fr)
- Jean Robert (fr)
- Ronald (fr)
- Ralph (fr)
- Jean Robert (fr)
|
| prop-fr:présentationEnLigne
| |
| prop-fr:titre
|
- Roger Cotes, Natural philosopher (fr)
- The monthly review (fr)
- Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques. (fr)
- Démonstration sans les complexes - principe de la méthode (fr)
- Démonstration et généralisation du théorème de Cotes grâce aux affixes (fr)
- Roger Cotes, Natural philosopher (fr)
- The monthly review (fr)
- Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques. (fr)
- Démonstration sans les complexes - principe de la méthode (fr)
- Démonstration et généralisation du théorème de Cotes grâce aux affixes (fr)
|
| prop-fr:titreChapitre
|
- Sur la décomposition en facteurs premiers de la somme et de la différence de deux puissances à exposants quelconques etc. (fr)
- Sur la décomposition en facteurs premiers de la somme et de la différence de deux puissances à exposants quelconques etc. (fr)
|
| prop-fr:titreOuvrage
|
- Nouveaux mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-lettres (fr)
- Nouveaux mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-lettres (fr)
|
| prop-fr:volume
| |
| prop-fr:wikiPageUsesTemplate
| |
| prop-fr:éditeur
| |
| dct:subject
| |
| rdfs:comment
|
- En géométrie plane, le théorème de Cotes sur le cercle établit une relation entre les distances d'un point aux sommets d'un polygône régulier et la distance de ce point au centre du polygone. Énoncé en 1716 par Roger Cotes, il se démontre en général par l'utilisation des complexes. Il sert à factoriser les polynômes et permet de décomposer des fractions rationnelles en éléments simples. Il permet également de mettre en évidence des formules trigonométriques. (fr)
- En géométrie plane, le théorème de Cotes sur le cercle établit une relation entre les distances d'un point aux sommets d'un polygône régulier et la distance de ce point au centre du polygone. Énoncé en 1716 par Roger Cotes, il se démontre en général par l'utilisation des complexes. Il sert à factoriser les polynômes et permet de décomposer des fractions rationnelles en éléments simples. Il permet également de mettre en évidence des formules trigonométriques. (fr)
|
| rdfs:label
|
- Théorème de Cotes (cercle) (fr)
- Théorème de Cotes (cercle) (fr)
|
| owl:sameAs
| |
| prov:wasDerivedFrom
| |
| foaf:depiction
| |
| foaf:isPrimaryTopicOf
| |
| is dbo:wikiPageWikiLink
of | |
| is oa:hasTarget
of | |
| is foaf:primaryTopic
of | |
