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- En analyse numérique, la stabilité d’un schéma numérique aux différences finies est une propriété globale de l’algorithme qui en découle. Elle concerne essentiellement le comportement numérique qui se manifeste lorsque les pas de discrétisation tendent tous vers 0. Sous certaines hypothèses, le théorème de Lax montre que la stabilité est une condition nécessaire et suffisante pour assurer la convergence. Bien qu’un schéma numérique soit conçu pour tenter de résoudre un problème décrit par des équations aux dérivées partielles, la stabilité du schéma n’a aucun lien avec la solution exacte du problème. La stabilité d’un schéma ne doit pas être confondue avec la stabilité de la solution du problème d’origine (par exemple la stabilité de Lyapunov des systèmes dynamiques). (fr)
- En analyse numérique, la stabilité d’un schéma numérique aux différences finies est une propriété globale de l’algorithme qui en découle. Elle concerne essentiellement le comportement numérique qui se manifeste lorsque les pas de discrétisation tendent tous vers 0. Sous certaines hypothèses, le théorème de Lax montre que la stabilité est une condition nécessaire et suffisante pour assurer la convergence. Bien qu’un schéma numérique soit conçu pour tenter de résoudre un problème décrit par des équations aux dérivées partielles, la stabilité du schéma n’a aucun lien avec la solution exacte du problème. La stabilité d’un schéma ne doit pas être confondue avec la stabilité de la solution du problème d’origine (par exemple la stabilité de Lyapunov des systèmes dynamiques). (fr)
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- Avec l’hypothèse sur , il suffit de remarquer que est une pondération des valeurs de l’étape précédente. Ainsi pour tout .
Par conséquent et (fr)
- Notons le vecteur dont les composantes sont les pour .
Le schéma peut s’écrire où est une matrice carrée symétrique de taille .
Pour prouver l’instabilité du schéma, il suffit de trouver un vecteur propre de dont la valeur propre est de module supérieur à . Ainsi, puisque , alors et par conséquent
En choisissant , on vérifie
.
Ainsi, est vecteur propre de pour la valeur propre
:
Avec l’hypothèse sur :
: et la suite n’est pas bornée. (fr)
- Choisissons la condition initiale pour laquelle on vérifie que la solution analytique est la suivante :
:
où .
Quels que soient et , on définit toujours
qui est supposé constant.
Les conditions initiales conduisent à .
On vérifie ensuite par induction que
, ce qui entraîne
: où
À ce stade, on a montré que le rapport entre les solutions analytique et numérique s’écrit pour tout :
: où
Montrons finalement en utilisant le développement limité de Taylor des deux termes dont est le produit :
:
:
:
:
:
Par conséquent :
:
dont on déduit :
avec une convergence en (fr)
- Notons la valeur de l’indice pour laquelle est maximal . On vérifie que le terme multiplié par est positif pour et négatif pour . Ainsi
:
:
Ces deux inégalités respectent d’ailleurs la physique de la diffusion de la chaleur.
Par induction, on en déduit , et donc la stabilité du schéma. (fr)
- Avec l’hypothèse sur , il suffit de remarquer que est une pondération des valeurs de l’étape précédente. Ainsi pour tout .
Par conséquent et (fr)
- Notons le vecteur dont les composantes sont les pour .
Le schéma peut s’écrire où est une matrice carrée symétrique de taille .
Pour prouver l’instabilité du schéma, il suffit de trouver un vecteur propre de dont la valeur propre est de module supérieur à . Ainsi, puisque , alors et par conséquent
En choisissant , on vérifie
.
Ainsi, est vecteur propre de pour la valeur propre
:
Avec l’hypothèse sur :
: et la suite n’est pas bornée. (fr)
- Choisissons la condition initiale pour laquelle on vérifie que la solution analytique est la suivante :
:
où .
Quels que soient et , on définit toujours
qui est supposé constant.
Les conditions initiales conduisent à .
On vérifie ensuite par induction que
, ce qui entraîne
: où
À ce stade, on a montré que le rapport entre les solutions analytique et numérique s’écrit pour tout :
: où
Montrons finalement en utilisant le développement limité de Taylor des deux termes dont est le produit :
:
:
:
:
:
Par conséquent :
:
dont on déduit :
avec une convergence en (fr)
- Notons la valeur de l’indice pour laquelle est maximal . On vérifie que le terme multiplié par est positif pour et négatif pour . Ainsi
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:
Ces deux inégalités respectent d’ailleurs la physique de la diffusion de la chaleur.
Par induction, on en déduit , et donc la stabilité du schéma. (fr)
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- Preuve de la convergence théorique du schéma (fr)
- Preuve de la stabilité du schéma implicite (fr)
- Preuve de la stabilité du schéma si (fr)
- Preuve de l’instabilité du schéma si (fr)
- Preuve de la convergence théorique du schéma (fr)
- Preuve de la stabilité du schéma implicite (fr)
- Preuve de la stabilité du schéma si (fr)
- Preuve de l’instabilité du schéma si (fr)
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- En analyse numérique, la stabilité d’un schéma numérique aux différences finies est une propriété globale de l’algorithme qui en découle. Elle concerne essentiellement le comportement numérique qui se manifeste lorsque les pas de discrétisation tendent tous vers 0. Sous certaines hypothèses, le théorème de Lax montre que la stabilité est une condition nécessaire et suffisante pour assurer la convergence. La stabilité d’un schéma ne doit pas être confondue avec la stabilité de la solution du problème d’origine (par exemple la stabilité de Lyapunov des systèmes dynamiques). (fr)
- En analyse numérique, la stabilité d’un schéma numérique aux différences finies est une propriété globale de l’algorithme qui en découle. Elle concerne essentiellement le comportement numérique qui se manifeste lorsque les pas de discrétisation tendent tous vers 0. Sous certaines hypothèses, le théorème de Lax montre que la stabilité est une condition nécessaire et suffisante pour assurer la convergence. La stabilité d’un schéma ne doit pas être confondue avec la stabilité de la solution du problème d’origine (par exemple la stabilité de Lyapunov des systèmes dynamiques). (fr)
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- Stabilité d'un schéma numérique (fr)
- Stabilité d'un schéma numérique (fr)
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