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- On dit qu'un système de type entrée-sortie est linéaire ou relève du principe de superposition si:
* à la somme de deux entrées quelconques correspond la somme des deux sorties correspondantes,
* à un multiple d'une entrée quelconque correspond le même multiple de la sortie correspondante. Dans le domaine des systèmes physiques et mécaniques, on appelle souvent l'entrée excitation et la sortie réponse. Plus précisément, si l'on note les excitations ƒ (par référence aux forces en mécanique) et les réponses x (par référence aux mouvements générés par les forces) :
* lorsque l'on sollicite le système par une entrée (excitation) ƒ1, la réponse (déplacement) est x1 ;
* lorsque l'on sollicite le système par une entrée (excitation) ƒ2, la réponse (déplacement) est x2 ; alors le système est dit linéaire si et seulement si pour λ1 et λ2 deux nombres quelconques, la réponse à l'excitation λ1ƒ1 + λ2ƒ2 est λ1x1 + λ2x2. Cette définition mathématique résume les deux conditions évoquées au début de cet article. Ce résultat se généralise alors à un nombre quelconque d'excitations. En d'autres termes, si on sait décomposer une excitation en une somme de fonctions simples, il sera éventuellement possible de calculer la réponse correspondante en additionnant des réponses individuelles calculables explicitement. D'un point de vue épistémologique, le principe de superposition permet l'usage d'une démarche de type analyse et synthèse :
* analyse : on découpe un problème en sous-problèmes : principe de la « fracture » (al-jabr d'Al-Khawarizmi, 833), ou encore « diviser chacune des difficultés que j'examinerais, en autant de parcelles qu'il se pourrait, et qu'il serait requis pour les mieux résoudre » (René Descartes, Discours de la méthode, 1637) ;
* on étudie chaque sous-problème (sollicitations simples ƒ1, ƒ2, …) ;
* synthèse : le problème complexe est la somme des sous-problèmes. En fait, les systèmes concrets possédant cette propriété sont rarissimes, pour ne pas dire inexistants. Bon nombre de systèmes peuvent être raisonnablement linéarisés, c'est-à-dire qu'on peut les considérer, en première approximation, comme linéaires
* soit en ignorant les petites non-linéarités par l'hypothèse des petites variations, voir systèmes oscillants à un degré de liberté et de manière générale grâce à la notion mathématique d'approximation linéaire,
* soit en procédant à une linéarisation optimisée dans le cas contraire. En pratique, bien que peu de systèmes soient strictement linéaires, bon nombre de théories relevant de la physique et de la mécanique sont construites en considérant les systèmes linéaires. Les systèmes non linéaires sont étudiés par un grand nombre de chercheurs, mais la difficulté de leur étude fait qu'ils sont plus difficilement accessibles à un public plus large (ingénieurs, techniciens...) (fr)
- On dit qu'un système de type entrée-sortie est linéaire ou relève du principe de superposition si:
* à la somme de deux entrées quelconques correspond la somme des deux sorties correspondantes,
* à un multiple d'une entrée quelconque correspond le même multiple de la sortie correspondante. Dans le domaine des systèmes physiques et mécaniques, on appelle souvent l'entrée excitation et la sortie réponse. Plus précisément, si l'on note les excitations ƒ (par référence aux forces en mécanique) et les réponses x (par référence aux mouvements générés par les forces) :
* lorsque l'on sollicite le système par une entrée (excitation) ƒ1, la réponse (déplacement) est x1 ;
* lorsque l'on sollicite le système par une entrée (excitation) ƒ2, la réponse (déplacement) est x2 ; alors le système est dit linéaire si et seulement si pour λ1 et λ2 deux nombres quelconques, la réponse à l'excitation λ1ƒ1 + λ2ƒ2 est λ1x1 + λ2x2. Cette définition mathématique résume les deux conditions évoquées au début de cet article. Ce résultat se généralise alors à un nombre quelconque d'excitations. En d'autres termes, si on sait décomposer une excitation en une somme de fonctions simples, il sera éventuellement possible de calculer la réponse correspondante en additionnant des réponses individuelles calculables explicitement. D'un point de vue épistémologique, le principe de superposition permet l'usage d'une démarche de type analyse et synthèse :
* analyse : on découpe un problème en sous-problèmes : principe de la « fracture » (al-jabr d'Al-Khawarizmi, 833), ou encore « diviser chacune des difficultés que j'examinerais, en autant de parcelles qu'il se pourrait, et qu'il serait requis pour les mieux résoudre » (René Descartes, Discours de la méthode, 1637) ;
* on étudie chaque sous-problème (sollicitations simples ƒ1, ƒ2, …) ;
* synthèse : le problème complexe est la somme des sous-problèmes. En fait, les systèmes concrets possédant cette propriété sont rarissimes, pour ne pas dire inexistants. Bon nombre de systèmes peuvent être raisonnablement linéarisés, c'est-à-dire qu'on peut les considérer, en première approximation, comme linéaires
* soit en ignorant les petites non-linéarités par l'hypothèse des petites variations, voir systèmes oscillants à un degré de liberté et de manière générale grâce à la notion mathématique d'approximation linéaire,
* soit en procédant à une linéarisation optimisée dans le cas contraire. En pratique, bien que peu de systèmes soient strictement linéaires, bon nombre de théories relevant de la physique et de la mécanique sont construites en considérant les systèmes linéaires. Les systèmes non linéaires sont étudiés par un grand nombre de chercheurs, mais la difficulté de leur étude fait qu'ils sont plus difficilement accessibles à un public plus large (ingénieurs, techniciens...) (fr)
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