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- En algèbre commutative, le lemme d'évitement s'énonce comme suit : Théorème — Soit A un anneau commutatif. Soit I un idéal de A contenu dans la réunion d'un nombre fini n ≥ 2 d'idéaux P1, … , Pn. Si P3, … , Pn sont premiers alors I est contenu dans l'un des Pi. Démonstration On procède par récurrence sur n. C'est immédiat pour n = 2 (c'est une propriété vraie pour les sous-groupes en général, ). Supposons la propriété montrée en n – 1 (n > 2) et (en raisonnant par l'absurde) que I n'est contenu dans aucun des Pi. Par hypothèse de récurrence, pour tout k ≤ n, il existe xk dans I et n'appartenant pas à la réunion des autres Pi. On a alors xk ∈ Pk. Considérons l'élément x = xn + x1x2…xn–1 de I. On a xn ∈ Pn et x1x2…xn–1 ∉ Pn (car Pn est premier) donc x ∉ Pn et, pour tout k < n, xn ∉ Pk et x1x2…xn–1 ∈ Pk donc x ∉ Pk. Ainsi, x n'appartient à aucun Pi. Cette contradiction termine la démonstration. Il existe une version pour les anneaux gradués : Théorème — Soit B un anneau commutatif unitaire gradué. Soient P1, … , Pn des idéaux premiers de B et I un idéal homogène de B engendré par des éléments homogènes de degrés strictement positifs. Supposons que tout élément homogène de I appartient à la réunion des Pi. Alors I est contenu dans l'un des Pi. Le lemme d'évitement est en général utilisé sous la forme de sa contraposée : si un idéal I n'est contenu dans aucun des idéaux premiers Pi, alors il existe un élément de I n'appartenant à aucun des Pi. En géométrie algébrique, ce lemme dit que dans un schéma affine SpecA, si l'on se donne un nombre fini de points en dehors d'un fermé V(I), alors ces points restent en dehors d'un fermé principal V(f) contenant V(I). La version du lemme d'évitement pour les anneaux gradués implique que dans une variété projective, tout ensemble fini de points est contenu dans un ouvert affine. Contre-exemple. Voici un exemple qui montre que le lemme d'évitement est faux pour les idéaux en général. Soit et considérons les idéauxet Alors I est contenu dans la réunion des Ji (cela peut se vérifier dans l'anneau quotient qui est un anneau local à 4 éléments), mais I n'est contenu dans aucun des Ji. Remarque. Si A contient un corps infini ou si c'est un anneau principal alors, dans le lemme d'évitement des idéaux premiers, on peut prendre pour Pi des idéaux quelconques. (fr)
- En algèbre commutative, le lemme d'évitement s'énonce comme suit : Théorème — Soit A un anneau commutatif. Soit I un idéal de A contenu dans la réunion d'un nombre fini n ≥ 2 d'idéaux P1, … , Pn. Si P3, … , Pn sont premiers alors I est contenu dans l'un des Pi. Démonstration On procède par récurrence sur n. C'est immédiat pour n = 2 (c'est une propriété vraie pour les sous-groupes en général, ). Supposons la propriété montrée en n – 1 (n > 2) et (en raisonnant par l'absurde) que I n'est contenu dans aucun des Pi. Par hypothèse de récurrence, pour tout k ≤ n, il existe xk dans I et n'appartenant pas à la réunion des autres Pi. On a alors xk ∈ Pk. Considérons l'élément x = xn + x1x2…xn–1 de I. On a xn ∈ Pn et x1x2…xn–1 ∉ Pn (car Pn est premier) donc x ∉ Pn et, pour tout k < n, xn ∉ Pk et x1x2…xn–1 ∈ Pk donc x ∉ Pk. Ainsi, x n'appartient à aucun Pi. Cette contradiction termine la démonstration. Il existe une version pour les anneaux gradués : Théorème — Soit B un anneau commutatif unitaire gradué. Soient P1, … , Pn des idéaux premiers de B et I un idéal homogène de B engendré par des éléments homogènes de degrés strictement positifs. Supposons que tout élément homogène de I appartient à la réunion des Pi. Alors I est contenu dans l'un des Pi. Le lemme d'évitement est en général utilisé sous la forme de sa contraposée : si un idéal I n'est contenu dans aucun des idéaux premiers Pi, alors il existe un élément de I n'appartenant à aucun des Pi. En géométrie algébrique, ce lemme dit que dans un schéma affine SpecA, si l'on se donne un nombre fini de points en dehors d'un fermé V(I), alors ces points restent en dehors d'un fermé principal V(f) contenant V(I). La version du lemme d'évitement pour les anneaux gradués implique que dans une variété projective, tout ensemble fini de points est contenu dans un ouvert affine. Contre-exemple. Voici un exemple qui montre que le lemme d'évitement est faux pour les idéaux en général. Soit et considérons les idéauxet Alors I est contenu dans la réunion des Ji (cela peut se vérifier dans l'anneau quotient qui est un anneau local à 4 éléments), mais I n'est contenu dans aucun des Ji. Remarque. Si A contient un corps infini ou si c'est un anneau principal alors, dans le lemme d'évitement des idéaux premiers, on peut prendre pour Pi des idéaux quelconques. (fr)
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- En algèbre commutative, le lemme d'évitement s'énonce comme suit : Théorème — Soit A un anneau commutatif. Soit I un idéal de A contenu dans la réunion d'un nombre fini n ≥ 2 d'idéaux P1, … , Pn. Si P3, … , Pn sont premiers alors I est contenu dans l'un des Pi. Démonstration On procède par récurrence sur n. C'est immédiat pour n = 2 (c'est une propriété vraie pour les sous-groupes en général, ). Il existe une version pour les anneaux gradués : (fr)
- En algèbre commutative, le lemme d'évitement s'énonce comme suit : Théorème — Soit A un anneau commutatif. Soit I un idéal de A contenu dans la réunion d'un nombre fini n ≥ 2 d'idéaux P1, … , Pn. Si P3, … , Pn sont premiers alors I est contenu dans l'un des Pi. Démonstration On procède par récurrence sur n. C'est immédiat pour n = 2 (c'est une propriété vraie pour les sous-groupes en général, ). Il existe une version pour les anneaux gradués : (fr)
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