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- Dans l'espace euclidien, la distance d'un point à un plan est la plus courte distance séparant ce point et un point du plan. Le théorème de Pythagore permet d'affirmer que la distance du point A au plan (P) correspond à la distance séparant A de son projeté orthogonal H sur le plan (P). Si l'espace est muni d'un repère orthonormal, les points peuvent être définis à l'aide de leurs coordonnées dites cartésiennes. Soit dans l'espace:
* Le point A de coordonnées
* Un point M quelconque du plan P
* Le projeté orthogonal H de A sur P, noté
* Le plan P d'équation cartésienne: ax + by + cz + d = 0
* un vecteur normal au plan P Alors la distance du point A au plan P notée vaut : d'où, Démonstration Premièrement, on sait que les vecteurs et sont colinéaires, on peut donc écrire : ce qui revient à, Deuxièmement, donc: Ceci revient à résoudre le système suivant: La substitution des coordonnées de H dans la 4e équation par leurs valeurs obtenues dans les 3 premières permet d'écrire : . ou encore : . P étant un plan, a, b, c ne sont pas tous nuls : on a Finalement, la distance de A à P n'est autre que la longueur du vecteur , donc : soit et enfin Ceci termine la preuve. (fr)
- Dans l'espace euclidien, la distance d'un point à un plan est la plus courte distance séparant ce point et un point du plan. Le théorème de Pythagore permet d'affirmer que la distance du point A au plan (P) correspond à la distance séparant A de son projeté orthogonal H sur le plan (P). Si l'espace est muni d'un repère orthonormal, les points peuvent être définis à l'aide de leurs coordonnées dites cartésiennes. Soit dans l'espace:
* Le point A de coordonnées
* Un point M quelconque du plan P
* Le projeté orthogonal H de A sur P, noté
* Le plan P d'équation cartésienne: ax + by + cz + d = 0
* un vecteur normal au plan P Alors la distance du point A au plan P notée vaut : d'où, Démonstration Premièrement, on sait que les vecteurs et sont colinéaires, on peut donc écrire : ce qui revient à, Deuxièmement, donc: Ceci revient à résoudre le système suivant: La substitution des coordonnées de H dans la 4e équation par leurs valeurs obtenues dans les 3 premières permet d'écrire : . ou encore : . P étant un plan, a, b, c ne sont pas tous nuls : on a Finalement, la distance de A à P n'est autre que la longueur du vecteur , donc : soit et enfin Ceci termine la preuve. (fr)
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| rdfs:comment
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- Dans l'espace euclidien, la distance d'un point à un plan est la plus courte distance séparant ce point et un point du plan. Le théorème de Pythagore permet d'affirmer que la distance du point A au plan (P) correspond à la distance séparant A de son projeté orthogonal H sur le plan (P). Si l'espace est muni d'un repère orthonormal, les points peuvent être définis à l'aide de leurs coordonnées dites cartésiennes. Soit dans l'espace: Alors la distance du point A au plan P notée vaut : d'où, Démonstration Premièrement, on sait que les vecteurs et sont colinéaires, on peut donc écrire : . ou encore : (fr)
- Dans l'espace euclidien, la distance d'un point à un plan est la plus courte distance séparant ce point et un point du plan. Le théorème de Pythagore permet d'affirmer que la distance du point A au plan (P) correspond à la distance séparant A de son projeté orthogonal H sur le plan (P). Si l'espace est muni d'un repère orthonormal, les points peuvent être définis à l'aide de leurs coordonnées dites cartésiennes. Soit dans l'espace: Alors la distance du point A au plan P notée vaut : d'où, Démonstration Premièrement, on sait que les vecteurs et sont colinéaires, on peut donc écrire : . ou encore : (fr)
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