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- Dans l'étude métrique des courbes du plan et de l'espace, la courbure mesure la manière dont une courbe, ou arc géométrique, s'éloigne localement d'une ligne droite. Elle évalue le rapport entre la variation de la direction de la tangente à la courbe et un déplacement d'une longueur infinitésimale sur celle-ci : plus ce rapport est important, plus la courbure est importante. En langage imagé, la courbure indique de combien il faut tourner le volant d'une voiture pour aborder un virage (volant tourné modérément pour une courbure faible et fortement pour une courbure forte). Plus précisément, si Γ est une courbe régulière de classe Ck avec k ≥ 2 - c'est-à-dire une courbe paramétrée par une fonction dérivable au moins deux fois, dont la dérivée première n'est jamais nulle et dont la dérivée seconde est continue - on sait que Γ possède localement une paramétrisation normale, c'est-à-dire qu'au voisinage d'un point M, il existe une fonction g paramétrisant Γ et telle que ||g '|| = 1. Si g(s) = M, la courbure de Γ au point M est : Si la courbure au point M est non nulle, son inverse donne le rayon du cercle osculateur, c'est-à-dire le rayon du cercle s'approchant au plus près de la courbe au point M. Dans le cas d'une courbe plane orientée, dans un plan orienté, on peut définir une courbure algébrique, qui indique non seulement l'intensité de l'incurvation mais aussi sa direction. Pour reprendre l'image de la route, dans un plan orienté selon le sens trigonométrique, une courbure algébrique positive indique qu'il faut tourner le volant à gauche pour aborder le tournant. La courbure algébrique est liée à l'orientation de la courbe, c'est-à-dire son sens de parcours : si pour un conducteur, il faut tourner à gauche pour aborder un tournant, pour les voitures roulant en sens inverse, il faut tourner à droite pour aborder ce même virage. Si g est une paramétrisation normale de Γ, pour tout s, il existe un vecteur unitaire n(s) tel que (g '(s), n(s)) soit une base orthonormée directe du plan, et il existe une fonction réelle γ telle que , pour tout s, g"(s) = γ(s)n(s). La valeur γ(s) est la courbure algébrique de l'arc orienté au point M = g(s) La valeur absolue de la courbure algébrique donne la courbure géométrique. Dans le cas d'une courbe gauche (c'est-à-dire non plane), il n'est pas possible de définir de courbure algébrique. Articles détaillés : Courbure et Arc paramétré. (fr)
- Dans l'étude métrique des courbes du plan et de l'espace, la courbure mesure la manière dont une courbe, ou arc géométrique, s'éloigne localement d'une ligne droite. Elle évalue le rapport entre la variation de la direction de la tangente à la courbe et un déplacement d'une longueur infinitésimale sur celle-ci : plus ce rapport est important, plus la courbure est importante. En langage imagé, la courbure indique de combien il faut tourner le volant d'une voiture pour aborder un virage (volant tourné modérément pour une courbure faible et fortement pour une courbure forte). Plus précisément, si Γ est une courbe régulière de classe Ck avec k ≥ 2 - c'est-à-dire une courbe paramétrée par une fonction dérivable au moins deux fois, dont la dérivée première n'est jamais nulle et dont la dérivée seconde est continue - on sait que Γ possède localement une paramétrisation normale, c'est-à-dire qu'au voisinage d'un point M, il existe une fonction g paramétrisant Γ et telle que ||g '|| = 1. Si g(s) = M, la courbure de Γ au point M est : Si la courbure au point M est non nulle, son inverse donne le rayon du cercle osculateur, c'est-à-dire le rayon du cercle s'approchant au plus près de la courbe au point M. Dans le cas d'une courbe plane orientée, dans un plan orienté, on peut définir une courbure algébrique, qui indique non seulement l'intensité de l'incurvation mais aussi sa direction. Pour reprendre l'image de la route, dans un plan orienté selon le sens trigonométrique, une courbure algébrique positive indique qu'il faut tourner le volant à gauche pour aborder le tournant. La courbure algébrique est liée à l'orientation de la courbe, c'est-à-dire son sens de parcours : si pour un conducteur, il faut tourner à gauche pour aborder un tournant, pour les voitures roulant en sens inverse, il faut tourner à droite pour aborder ce même virage. Si g est une paramétrisation normale de Γ, pour tout s, il existe un vecteur unitaire n(s) tel que (g '(s), n(s)) soit une base orthonormée directe du plan, et il existe une fonction réelle γ telle que , pour tout s, g"(s) = γ(s)n(s). La valeur γ(s) est la courbure algébrique de l'arc orienté au point M = g(s) La valeur absolue de la courbure algébrique donne la courbure géométrique. Dans le cas d'une courbe gauche (c'est-à-dire non plane), il n'est pas possible de définir de courbure algébrique. Articles détaillés : Courbure et Arc paramétré. (fr)
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- Dans l'étude métrique des courbes du plan et de l'espace, la courbure mesure la manière dont une courbe, ou arc géométrique, s'éloigne localement d'une ligne droite. Elle évalue le rapport entre la variation de la direction de la tangente à la courbe et un déplacement d'une longueur infinitésimale sur celle-ci : plus ce rapport est important, plus la courbure est importante. En langage imagé, la courbure indique de combien il faut tourner le volant d'une voiture pour aborder un virage (volant tourné modérément pour une courbure faible et fortement pour une courbure forte). (fr)
- Dans l'étude métrique des courbes du plan et de l'espace, la courbure mesure la manière dont une courbe, ou arc géométrique, s'éloigne localement d'une ligne droite. Elle évalue le rapport entre la variation de la direction de la tangente à la courbe et un déplacement d'une longueur infinitésimale sur celle-ci : plus ce rapport est important, plus la courbure est importante. En langage imagé, la courbure indique de combien il faut tourner le volant d'une voiture pour aborder un virage (volant tourné modérément pour une courbure faible et fortement pour une courbure forte). (fr)
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