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- Considérons un ensemble A muni d'une relation binaire ≤. Un sous-ensemble B de A est dit cofinal si : pour tout élément a de A, il existe un élément b de B tel que a ≤ b ;∀ a ∈ A, ∃ b ∈ B \ a ≤ b. La cofinalité de l'ensemble A est le cardinal du plus petit sous-ensemble cofinal de A. La cofinalité d'un ordinal limite est le plus petit ordinal tel qu'il existe une fonction non majorée. Cet ordinal est usuellement noté ou . Intuitivement, est le plus petit nombre de pas à faire pour arriver au bout de . Par exemple, on peut aller au bout de en pas, avec la fonction identité, mais on ne peut pas aller au bout de en un nombre fini de pas. On a donc . Un cardinal qui est égal à sa cofinalité, comme ici, , est appelé cardinal régulier. De même, on peut aller au bout de en pas mais on ne peut pas le faire en un nombre dénombrable de pas. On a donc ; qui est donc aussi un cardinal régulier. En revanche, on peut aller au bout de en pas, avec la fonction définie par , donc . Un cardinal qui n'est pas régulier, c'est-à-dire, qui n'est pas égal à sa cofinalité, comme ici est appelé cardinal singulier. (fr)
- Considérons un ensemble A muni d'une relation binaire ≤. Un sous-ensemble B de A est dit cofinal si : pour tout élément a de A, il existe un élément b de B tel que a ≤ b ;∀ a ∈ A, ∃ b ∈ B \ a ≤ b. La cofinalité de l'ensemble A est le cardinal du plus petit sous-ensemble cofinal de A. La cofinalité d'un ordinal limite est le plus petit ordinal tel qu'il existe une fonction non majorée. Cet ordinal est usuellement noté ou . Intuitivement, est le plus petit nombre de pas à faire pour arriver au bout de . Par exemple, on peut aller au bout de en pas, avec la fonction identité, mais on ne peut pas aller au bout de en un nombre fini de pas. On a donc . Un cardinal qui est égal à sa cofinalité, comme ici, , est appelé cardinal régulier. De même, on peut aller au bout de en pas mais on ne peut pas le faire en un nombre dénombrable de pas. On a donc ; qui est donc aussi un cardinal régulier. En revanche, on peut aller au bout de en pas, avec la fonction définie par , donc . Un cardinal qui n'est pas régulier, c'est-à-dire, qui n'est pas égal à sa cofinalité, comme ici est appelé cardinal singulier. (fr)
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| rdfs:comment
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- Considérons un ensemble A muni d'une relation binaire ≤. Un sous-ensemble B de A est dit cofinal si : pour tout élément a de A, il existe un élément b de B tel que a ≤ b ;∀ a ∈ A, ∃ b ∈ B \ a ≤ b. La cofinalité de l'ensemble A est le cardinal du plus petit sous-ensemble cofinal de A. La cofinalité d'un ordinal limite est le plus petit ordinal tel qu'il existe une fonction non majorée. Cet ordinal est usuellement noté ou . Intuitivement, est le plus petit nombre de pas à faire pour arriver au bout de . Un cardinal qui est égal à sa cofinalité, comme ici, , est appelé cardinal régulier. (fr)
- Considérons un ensemble A muni d'une relation binaire ≤. Un sous-ensemble B de A est dit cofinal si : pour tout élément a de A, il existe un élément b de B tel que a ≤ b ;∀ a ∈ A, ∃ b ∈ B \ a ≤ b. La cofinalité de l'ensemble A est le cardinal du plus petit sous-ensemble cofinal de A. La cofinalité d'un ordinal limite est le plus petit ordinal tel qu'il existe une fonction non majorée. Cet ordinal est usuellement noté ou . Intuitivement, est le plus petit nombre de pas à faire pour arriver au bout de . Un cardinal qui est égal à sa cofinalité, comme ici, , est appelé cardinal régulier. (fr)
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