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- En astrophysique, l'équation de Lane-Emden décrit la structure d'un objet dont l'équation d'état est celle d'un polytrope, et qui est soumis à l'influence de son propre champ gravitationnel. Il est de plus supposé que l'objet est à symétrie sphérique, c'est-à-dire qu'il n'est pas significativement déformé par sa propre rotation. L'équation de Lane-Emden permet alors de déterminer le profil de pression et de densité de l'objet, ainsi que de déterminer les types de configuration qu'il peut avoir (stable ou instable, d'extension finie ou infinie). Cette équation est nommée en l'honneur des astrophysiciens Jonathan Lane et Robert Emden. Y sont également liés Lord Kelvin et à la fin du XIXe siècle puis dans le courant des années 1930 Ralph H. Fowler et Subrahmanyan Chandrasekhar. Selon ce dernier, les travaux de Ritter sur ce problème sont plus importants que ceux d'Emden, et l'équation mériterait tout autant de s'appeler équation de Lane-Ritter. C'est Jonathan Lane qui le premier proposa cette équation, en 1870, dans un travail qui est présenté comme étant le premier visant à étudier la structure interne d'une étoile. (fr)
- En astrophysique, l'équation de Lane-Emden décrit la structure d'un objet dont l'équation d'état est celle d'un polytrope, et qui est soumis à l'influence de son propre champ gravitationnel. Il est de plus supposé que l'objet est à symétrie sphérique, c'est-à-dire qu'il n'est pas significativement déformé par sa propre rotation. L'équation de Lane-Emden permet alors de déterminer le profil de pression et de densité de l'objet, ainsi que de déterminer les types de configuration qu'il peut avoir (stable ou instable, d'extension finie ou infinie). Cette équation est nommée en l'honneur des astrophysiciens Jonathan Lane et Robert Emden. Y sont également liés Lord Kelvin et à la fin du XIXe siècle puis dans le courant des années 1930 Ralph H. Fowler et Subrahmanyan Chandrasekhar. Selon ce dernier, les travaux de Ritter sur ce problème sont plus importants que ceux d'Emden, et l'équation mériterait tout autant de s'appeler équation de Lane-Ritter. C'est Jonathan Lane qui le premier proposa cette équation, en 1870, dans un travail qui est présenté comme étant le premier visant à étudier la structure interne d'une étoile. (fr)
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- L'équation de l'équilibre hydrostatique peut se réécrire
:.
La pression étant une fonction de la masse volumique, le gradient de pression que s'écrire
:.
En substituant et en prenant la divergence, on obtient
:.
La divergence du champ g s'exprime en fonction du potentiel gravitationnel Φ, qui lui-même peut être remplacé par l'utilisation de l'équation de Poisson. On trouve finalement
:.
Le membre de gauche peut se réécrire
:.
Finalement, l'équation peut se réécrire
:.
D'après l'équation d'état polytropique, la quantité est proportionnelle à . On a donc
:,
et finalement
:. (fr)
- En développant le terme faisant intervenir la pression et en se plaçant en coordonnées sphériques, et en notant par une prime les dérivées par rapport à la coordonnée radiale r, il vient
:.
Il existe une formulation plus élégante de cette équation, obtenue en effectuant un changement de la variable μ. En considérant une quantité θ telle que
:,
on obtient la simplification suivante :
:.
Si on note par un indice c les valeurs centrales de la densité et de la pression, et que l'on définit la normalisation de θ par
:,
alors on obtient
:.
Enfin, on peut remarquer que la quantité est homogène au carré d'une longueur. On peut donc définir une nouvelle coordonnée radiale ξ, adimensionnelle, par
:.
En notant par une prime les dérivées par rapport à ξ, il vient finalement
:,
que l'on peut aussi écrire
:,
C'est là la formulation la plus compacte de l'équation de Lane-Emden. (fr)
- L'équation de l'équilibre hydrostatique peut se réécrire
:.
La pression étant une fonction de la masse volumique, le gradient de pression que s'écrire
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En substituant et en prenant la divergence, on obtient
:.
La divergence du champ g s'exprime en fonction du potentiel gravitationnel Φ, qui lui-même peut être remplacé par l'utilisation de l'équation de Poisson. On trouve finalement
:.
Le membre de gauche peut se réécrire
:.
Finalement, l'équation peut se réécrire
:.
D'après l'équation d'état polytropique, la quantité est proportionnelle à . On a donc
:,
et finalement
:. (fr)
- En développant le terme faisant intervenir la pression et en se plaçant en coordonnées sphériques, et en notant par une prime les dérivées par rapport à la coordonnée radiale r, il vient
:.
Il existe une formulation plus élégante de cette équation, obtenue en effectuant un changement de la variable μ. En considérant une quantité θ telle que
:,
on obtient la simplification suivante :
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Si on note par un indice c les valeurs centrales de la densité et de la pression, et que l'on définit la normalisation de θ par
:,
alors on obtient
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Enfin, on peut remarquer que la quantité est homogène au carré d'une longueur. On peut donc définir une nouvelle coordonnée radiale ξ, adimensionnelle, par
:.
En notant par une prime les dérivées par rapport à ξ, il vient finalement
:,
que l'on peut aussi écrire
:,
C'est là la formulation la plus compacte de l'équation de Lane-Emden. (fr)
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- Démonstration (fr)
- Démonstration (fr)
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- En astrophysique, l'équation de Lane-Emden décrit la structure d'un objet dont l'équation d'état est celle d'un polytrope, et qui est soumis à l'influence de son propre champ gravitationnel. Il est de plus supposé que l'objet est à symétrie sphérique, c'est-à-dire qu'il n'est pas significativement déformé par sa propre rotation. L'équation de Lane-Emden permet alors de déterminer le profil de pression et de densité de l'objet, ainsi que de déterminer les types de configuration qu'il peut avoir (stable ou instable, d'extension finie ou infinie). Cette équation est nommée en l'honneur des astrophysiciens Jonathan Lane et Robert Emden. Y sont également liés Lord Kelvin et à la fin du XIXe siècle puis dans le courant des années 1930 Ralph H. Fowler et Subrahmanyan Chandrasekhar. Selon ce dern (fr)
- En astrophysique, l'équation de Lane-Emden décrit la structure d'un objet dont l'équation d'état est celle d'un polytrope, et qui est soumis à l'influence de son propre champ gravitationnel. Il est de plus supposé que l'objet est à symétrie sphérique, c'est-à-dire qu'il n'est pas significativement déformé par sa propre rotation. L'équation de Lane-Emden permet alors de déterminer le profil de pression et de densité de l'objet, ainsi que de déterminer les types de configuration qu'il peut avoir (stable ou instable, d'extension finie ou infinie). Cette équation est nommée en l'honneur des astrophysiciens Jonathan Lane et Robert Emden. Y sont également liés Lord Kelvin et à la fin du XIXe siècle puis dans le courant des années 1930 Ralph H. Fowler et Subrahmanyan Chandrasekhar. Selon ce dern (fr)
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- Ecuación de Lane-Emden (es)
- Equação de Lane-Emden (pt)
- Lane-Emdens ekvation (sv)
- Équation de Lane-Emden (fr)
- 莱恩－埃姆登方程 (zh)
- Ecuación de Lane-Emden (es)
- Equação de Lane-Emden (pt)
- Lane-Emdens ekvation (sv)
- Équation de Lane-Emden (fr)
- 莱恩－埃姆登方程 (zh)
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