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- 180.0
- Comme ci-dessus, z désigne la racine primitive cinquième privilégiée, à savoir exp et le générateur m du groupe de Galois est l'automorphisme sur Q de l'extension F5 uniquement défini par l'identité :
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Déterminons les éléments de F5 laissés invariants par la conjugaison complexe m2. Or, m2= z4 ; m2=z3 ; et enfin m2 est d'ordre deux. Donc u = z + z4 et son image v = m = z2 + z3 sont clairement invariants par m2. De plus, leur somme u+v et leur produit u.v sont invariants par m et donc par le groupe de Galois ; on s'attend à ce qu'ils soient donc rationnels. La somme u+v est la somme des quatre racines cinquièmes et vaut donc -1 ; le produit est aussi égal à la somme des racines cinquièmes primitives, soit -1.
On en déduit que u et v vérifie l'équation P[X] = 0 où :
Ces formules auraient pu être démontrées en remarquant que z4 est le conjugué de z. Il en est de même avec z2 et z3.
En effet, on a :
Avec :
Et le carré du conjugué est égal au conjugué du carré de z.
L'ensemble des points fixes par m2, donc par H forment une extension intermédiaire de Q, notée habituellement F5H. Le polynôme Φ5[X] se factorise dans l'algèbre F5H[X] comme suit:
Et dans F5[X], le polynôme prend la forme:
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