En géométrie, le théorème de Gauss-Wantzel énonce une condition nécessaire et suffisante pour qu'un polygone régulier soit constructible à la règle et au compas.

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  • 180.0
  • Comme ci-dessus, z désigne la racine primitive cinquième privilégiée, à savoir exp et le générateur m du groupe de Galois est l'automorphisme sur Q de l'extension F5 uniquement défini par l'identité : . Déterminons les éléments de F5 laissés invariants par la conjugaison complexe m2. Or, m2= z4 ; m2=z3 ; et enfin m2 est d'ordre deux. Donc u = z + z4 et son image v = m = z2 + z3 sont clairement invariants par m2. De plus, leur somme u+v et leur produit u.v sont invariants par m et donc par le groupe de Galois ; on s'attend à ce qu'ils soient donc rationnels. La somme u+v est la somme des quatre racines cinquièmes et vaut donc -1 ; le produit est aussi égal à la somme des racines cinquièmes primitives, soit -1. On en déduit que u et v vérifie l'équation P[X] = 0 où : Ces formules auraient pu être démontrées en remarquant que z4 est le conjugué de z. Il en est de même avec z2 et z3. En effet, on a : Avec : Et le carré du conjugué est égal au conjugué du carré de z. L'ensemble des points fixes par m2, donc par H forment une extension intermédiaire de Q, notée habituellement F5H. Le polynôme Φ5[X] se factorise dans l'algèbre F5H[X] comme suit: Et dans F5[X], le polynôme prend la forme: .
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  • Calcul
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  • En géométrie, le théorème de Gauss-Wantzel énonce une condition nécessaire et suffisante pour qu'un polygone régulier soit constructible à la règle et au compas.
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  • Théorème de Gauss-Wantzel
  • Gauss–Wantzel theorem
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