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| - Métrique riemannienne (fr)
- Riemannian manifold (en)
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| - En géométrie différentielle, les métriques riemanniennes sont la notion de base de la géométrie riemannienne. La première introduction a été donnée par Bernhard Riemann en 1854. Cependant, son article sur le sujet a été publié après sa mort, en 1868. La même année, Hermann von Helmholtz publie des résultats analogues. Les métriques riemanniennes sont des familles différentiables de formes quadratiques définies positives. (fr)
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| - *;Preuve via une partition de l'unité.
Pour tout ouvert U suffisamment petit de M, le fibré vectoriel π-1→U est trivialisable. Or, par ci-dessus, tout fibré vectoriel trivialisable admet une métrique riemannienne. Donc, il existe une métrique riemannienne gU sur π-1.
En utilisant la paracompacité de M, il existe un recouvrement dénombrable n∈ℕ de M tel que, pour tout entier n, il existe une métrique riemannienne gn sur le fibré vectoriel π-1→Un. Soit n∈ℕ une partition de l'unité subordonnée à n∈ℕ. L'application x↦ϕn'gn est une section globale de Sπ-1→Un nulle au voisinage de la frontière ∂Un. Elle se prolonge par en une section globale de S'E→M, abusivement notée x↦ϕn'gn.
On pose alors :.
C'est une section de S'E→M, et elle bien définie positive en tout point de M : si appartient à l'intérieur du support de , et pour tout vecteur non nul de ,.
*;Preuve via un plongement.
Il existe un fibré vectoriel F→M tel que E⊕F→M soit trivialisable. On utilise à ce niveau la paracompacité de M. Il existe donc une métrique riemannienne sur E⊕F→M qui se restreint en une métrique riemannienne sur E→M.
Bien que plus court en apparence, ce second argument dissimule la difficulté dans l'existence de . Cette existence fait aussi appel à un argument de partition de l'unité. (fr)
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| - En géométrie différentielle, les métriques riemanniennes sont la notion de base de la géométrie riemannienne. La première introduction a été donnée par Bernhard Riemann en 1854. Cependant, son article sur le sujet a été publié après sa mort, en 1868. La même année, Hermann von Helmholtz publie des résultats analogues. Les métriques riemanniennes sont des familles différentiables de formes quadratiques définies positives. (fr)
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