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- En mathématiques, les équations aux q-différences forment une famille d'équations fonctionnelles dont l'étude est apparentée à celle des équations différentielles. Dans une équation aux q-différences, le paramètre q est un nombre complexe dont le module est en général supposé différent de 1 (certains auteurs exigeant que ce module soit strictement supérieur à 1, d'autre qu'il soit strictement inférieur à 1). Sur un espace de fonctions de variable complexe, l'opérateur aux q-différences est défini par : Il joue un rôle analogue à celui de l'opérateur de dérivation dans les équations différentielles. Ainsi, une fonction satisfaisant l'équation : qu'on peut récrire sous la forme en posant , jouera le rôle d'une fonction constante : les fonctions vérifiant cette équation, dans le corps des fonctions méromorphes sur , s'identifient au corps des fonctions méromorphes sur la courbe elliptique , donc à un corps de fonctions elliptiques. Une équation (ou système) sera dit linéaire si elle est de la forme : où f est ici un vecteur de fonctions, et A une matrice. Comme l'opérateur aux q-différences n'a que deux points fixes sur la sphère de Riemann (0 et ∞), l'étude locale des solutions ne se fait qu'au voisinage de ces deux points. L'étude des équations aux q-différences se fait suivant plusieurs axes, similaires à certains axes pour l'étude des équations différentielles :
* l'étude des équations linéaires : on cherche à ramener une équation linéaire à une équation à coefficients constants , avec B une matrice inversible à coefficients complexes. Ceci est possible via des , et sous des conditions techniques sur les coefficients de l'équation initiale. En décomposant la matrice B par l'algèbre linéaire, on ramène alors la résolution d'un tel système à la résolution des équations des caractères, pour c complexe : dont la solution joue un rôle analogue à la fonction caractère dans la théorie différentielle ; et une équation du logarithme : Ces équations sont résolues à l'aide la fonction thêta de Jacobi. (fr)
- En mathématiques, les équations aux q-différences forment une famille d'équations fonctionnelles dont l'étude est apparentée à celle des équations différentielles. Dans une équation aux q-différences, le paramètre q est un nombre complexe dont le module est en général supposé différent de 1 (certains auteurs exigeant que ce module soit strictement supérieur à 1, d'autre qu'il soit strictement inférieur à 1). Sur un espace de fonctions de variable complexe, l'opérateur aux q-différences est défini par : Il joue un rôle analogue à celui de l'opérateur de dérivation dans les équations différentielles. Ainsi, une fonction satisfaisant l'équation : qu'on peut récrire sous la forme en posant , jouera le rôle d'une fonction constante : les fonctions vérifiant cette équation, dans le corps des fonctions méromorphes sur , s'identifient au corps des fonctions méromorphes sur la courbe elliptique , donc à un corps de fonctions elliptiques. Une équation (ou système) sera dit linéaire si elle est de la forme : où f est ici un vecteur de fonctions, et A une matrice. Comme l'opérateur aux q-différences n'a que deux points fixes sur la sphère de Riemann (0 et ∞), l'étude locale des solutions ne se fait qu'au voisinage de ces deux points. L'étude des équations aux q-différences se fait suivant plusieurs axes, similaires à certains axes pour l'étude des équations différentielles :
* l'étude des équations linéaires : on cherche à ramener une équation linéaire à une équation à coefficients constants , avec B une matrice inversible à coefficients complexes. Ceci est possible via des , et sous des conditions techniques sur les coefficients de l'équation initiale. En décomposant la matrice B par l'algèbre linéaire, on ramène alors la résolution d'un tel système à la résolution des équations des caractères, pour c complexe : dont la solution joue un rôle analogue à la fonction caractère dans la théorie différentielle ; et une équation du logarithme : Ces équations sont résolues à l'aide la fonction thêta de Jacobi. (fr)
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- En mathématiques, les équations aux q-différences forment une famille d'équations fonctionnelles dont l'étude est apparentée à celle des équations différentielles. Dans une équation aux q-différences, le paramètre q est un nombre complexe dont le module est en général supposé différent de 1 (certains auteurs exigeant que ce module soit strictement supérieur à 1, d'autre qu'il soit strictement inférieur à 1). Sur un espace de fonctions de variable complexe, l'opérateur aux q-différences est défini par : qu'on peut récrire sous la forme où f est ici un vecteur de fonctions, et A une matrice. (fr)
- En mathématiques, les équations aux q-différences forment une famille d'équations fonctionnelles dont l'étude est apparentée à celle des équations différentielles. Dans une équation aux q-différences, le paramètre q est un nombre complexe dont le module est en général supposé différent de 1 (certains auteurs exigeant que ce module soit strictement supérieur à 1, d'autre qu'il soit strictement inférieur à 1). Sur un espace de fonctions de variable complexe, l'opérateur aux q-différences est défini par : qu'on peut récrire sous la forme où f est ici un vecteur de fonctions, et A une matrice. (fr)
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