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- En algèbre, le radical de Jacobson d'un anneau commutatif est l'intersection de ses idéaux maximaux. Cette notion est due à Nathan Jacobson qui le premier en a fait l'étude systématique.Un élément x appartient au radical de Jacobson de l'anneau A si et seulement si 1 + ax est inversible pour tout a de A. Démonstration Notons J le radical de Jacobson de l'anneau commutatif A et exploitons le fait que (d'après le théorème de Krull) 1 + ax est non inversible si et seulement s'il appartient à un idéal maximal.
* Si x n'appartient pas à J, soit M un idéal maximal ne contenant pas x. Alors M + Ax = A donc il existe m dans M et a dans A tels que 1 = m – ax, et 1 + ax n'est pas inversible.
* Réciproquement, si, pour un certain a dans A, 1 + ax appartient à un idéal maximal M, alors M ne contient pas x, donc x n'appartient pas à J. Dans le cas non commutatif, on définit le radical de Jacobson comme étant l'intersection de tous les idéaux maximaux à gauche et l'on a encore : x appartient au radical si et seulement si tous les 1 + ax sont inversibles à gauche. C'est un idéal bilatère et on aurait pu définir de manière équivalente le radical de Jacobson comme l'intersection de tous les idéaux maximaux à droite. (fr)
- En algèbre, le radical de Jacobson d'un anneau commutatif est l'intersection de ses idéaux maximaux. Cette notion est due à Nathan Jacobson qui le premier en a fait l'étude systématique.Un élément x appartient au radical de Jacobson de l'anneau A si et seulement si 1 + ax est inversible pour tout a de A. Démonstration Notons J le radical de Jacobson de l'anneau commutatif A et exploitons le fait que (d'après le théorème de Krull) 1 + ax est non inversible si et seulement s'il appartient à un idéal maximal.
* Si x n'appartient pas à J, soit M un idéal maximal ne contenant pas x. Alors M + Ax = A donc il existe m dans M et a dans A tels que 1 = m – ax, et 1 + ax n'est pas inversible.
* Réciproquement, si, pour un certain a dans A, 1 + ax appartient à un idéal maximal M, alors M ne contient pas x, donc x n'appartient pas à J. Dans le cas non commutatif, on définit le radical de Jacobson comme étant l'intersection de tous les idéaux maximaux à gauche et l'on a encore : x appartient au radical si et seulement si tous les 1 + ax sont inversibles à gauche. C'est un idéal bilatère et on aurait pu définir de manière équivalente le radical de Jacobson comme l'intersection de tous les idéaux maximaux à droite. (fr)
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- En algèbre, le radical de Jacobson d'un anneau commutatif est l'intersection de ses idéaux maximaux. Cette notion est due à Nathan Jacobson qui le premier en a fait l'étude systématique.Un élément x appartient au radical de Jacobson de l'anneau A si et seulement si 1 + ax est inversible pour tout a de A. Démonstration Notons J le radical de Jacobson de l'anneau commutatif A et exploitons le fait que (d'après le théorème de Krull) 1 + ax est non inversible si et seulement s'il appartient à un idéal maximal. (fr)
- En algèbre, le radical de Jacobson d'un anneau commutatif est l'intersection de ses idéaux maximaux. Cette notion est due à Nathan Jacobson qui le premier en a fait l'étude systématique.Un élément x appartient au radical de Jacobson de l'anneau A si et seulement si 1 + ax est inversible pour tout a de A. Démonstration Notons J le radical de Jacobson de l'anneau commutatif A et exploitons le fait que (d'après le théorème de Krull) 1 + ax est non inversible si et seulement s'il appartient à un idéal maximal. (fr)
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- Jacobson-Radikal (de)
- Radical de Jacobson (es)
- Radical de Jacobson (fr)
- Radicale di Jacobson (it)
- Радикал Джекобсона (ru)
- ジャコブソン根基 (ja)
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