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- Par rapport au triangle ABC, on se place dans le repère d'origine O, la base de la hauteur issue de A, et les vecteurs unitaires orientés dans le sens de et respectivement. Dans ce repère, les coordonnées sont de la forme : A , B , C , l'orthocentre H , avec .
On cherche donc la forme d'une conique passant par ces quatre points. Son équation sera de la forme
:
La conique passant par A, B, C et H, on a en particulier les relations :
:
D'où : la conique est une hyperbole équilatère.
Réciproquement, dans le même repère, une hyperbole équilatère passant par A, B et C aura une équation de la forme :
:
Les intersections de la conique avec l'axe correspondent à X = 0, soit :
:
On a donc deux cas : , soit le point A, et = , soit l'orthocentre H. QED. (fr)
- Par rapport au triangle ABC, on se place dans le repère d'origine O, la base de la hauteur issue de A, et les vecteurs unitaires orientés dans le sens de et respectivement. Dans ce repère, les coordonnées sont de la forme : A , B , C , l'orthocentre H , avec .
On cherche donc la forme d'une conique passant par ces quatre points. Son équation sera de la forme
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La conique passant par A, B, C et H, on a en particulier les relations :
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D'où : la conique est une hyperbole équilatère.
Réciproquement, dans le même repère, une hyperbole équilatère passant par A, B et C aura une équation de la forme :
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Les intersections de la conique avec l'axe correspondent à X = 0, soit :
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On a donc deux cas : , soit le point A, et = , soit l'orthocentre H. QED. (fr)
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