| dbo:abstract
|
- En géométrie plane, les cercles de Johnson sont trois cercles de même rayon et ayant un point H en commun. Les trois autres points d'intersection des cercles entre eux possèdent de nombreuses propriétés. Il se peut, dans le cas où deux des cercles sont tangents, qu'un des points soit confondu avec H mais, même dans ce cas particulier, les résultats énoncés ci-dessous restent valides. (fr)
- En géométrie plane, les cercles de Johnson sont trois cercles de même rayon et ayant un point H en commun. Les trois autres points d'intersection des cercles entre eux possèdent de nombreuses propriétés. Il se peut, dans le cas où deux des cercles sont tangents, qu'un des points soit confondu avec H mais, même dans ce cas particulier, les résultats énoncés ci-dessous restent valides. (fr)
|
| prop-fr:contenu
|
- Une démonstration consiste à mettre en évidence une série de losanges.
thumb|Cercles de Johnson avec les trois losanges complétés par le point O qui donne l'illusion d'un dessin de cube en perspective
Si on appelle , , les centres des trois cercles , , de rayon , leur point de concours et , et les points d'intersections respectifs de et , de et , de et , on observe la présence de trois losanges de côté : , , .
On construit alors le point tel que soit un parallélogramme. Ce parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur , c'est un losange.
De plus, on obtient les égalités vectorielles suivantes :
: .
Le quadrilatère est donc un parallélogramme, qui de plus possède deux côtés consécutifs de longueur . C'est donc également un losange.
On obtient ainsi les égalités
: .
On prouve ainsi que les trois points sont sur un cercle de centre et de rayon . (fr)
- Si on appelle , , , les points diamétralement opposés à dans les cercles , , , le point est centre du cercle circonscrit au triangle .
Puisque est un parallélogramme, il en est de même de . Il y a donc égalité des vecteurs et . De même, les vecteurs et sont égaux. Le point est donc milieu de . De même, le point est milieu de et le point est donc milieu de .
Le triangle est l'image du triangle par l'homothétie de centre G, l'isobarycentre du triangle, et de rapport -2. Le triangle étant l'image du triangle par l'homothétie de centre et de rapport 1/2, il est aussi l'image de par la composée de ces deux homothéties, c'est-à-dire par une homothétie de rapport -1 et de centre , barycentre des points et affectés des coefficients -3/2 et -1/2. Or ce point correspond au centre du cercle des neuf points du triangle ABC. Par symétrie, c'est aussi le centre du cercle des neuf points du triangle de Johnson. (fr)
- Une démonstration consiste à mettre en évidence une série de losanges.
thumb|Cercles de Johnson avec les trois losanges complétés par le point O qui donne l'illusion d'un dessin de cube en perspective
Si on appelle , , les centres des trois cercles , , de rayon , leur point de concours et , et les points d'intersections respectifs de et , de et , de et , on observe la présence de trois losanges de côté : , , .
On construit alors le point tel que soit un parallélogramme. Ce parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur , c'est un losange.
De plus, on obtient les égalités vectorielles suivantes :
: .
Le quadrilatère est donc un parallélogramme, qui de plus possède deux côtés consécutifs de longueur . C'est donc également un losange.
On obtient ainsi les égalités
: .
On prouve ainsi que les trois points sont sur un cercle de centre et de rayon . (fr)
- Si on appelle , , , les points diamétralement opposés à dans les cercles , , , le point est centre du cercle circonscrit au triangle .
Puisque est un parallélogramme, il en est de même de . Il y a donc égalité des vecteurs et . De même, les vecteurs et sont égaux. Le point est donc milieu de . De même, le point est milieu de et le point est donc milieu de .
Le triangle est l'image du triangle par l'homothétie de centre G, l'isobarycentre du triangle, et de rapport -2. Le triangle étant l'image du triangle par l'homothétie de centre et de rapport 1/2, il est aussi l'image de par la composée de ces deux homothéties, c'est-à-dire par une homothétie de rapport -1 et de centre , barycentre des points et affectés des coefficients -3/2 et -1/2. Or ce point correspond au centre du cercle des neuf points du triangle ABC. Par symétrie, c'est aussi le centre du cercle des neuf points du triangle de Johnson. (fr)
|
| rdfs:comment
|
- En géométrie plane, les cercles de Johnson sont trois cercles de même rayon et ayant un point H en commun. Les trois autres points d'intersection des cercles entre eux possèdent de nombreuses propriétés. Il se peut, dans le cas où deux des cercles sont tangents, qu'un des points soit confondu avec H mais, même dans ce cas particulier, les résultats énoncés ci-dessous restent valides. (fr)
- En géométrie plane, les cercles de Johnson sont trois cercles de même rayon et ayant un point H en commun. Les trois autres points d'intersection des cercles entre eux possèdent de nombreuses propriétés. Il se peut, dans le cas où deux des cercles sont tangents, qu'un des points soit confondu avec H mais, même dans ce cas particulier, les résultats énoncés ci-dessous restent valides. (fr)
|
