Un pavage (ou dallage) est une partition d’un espace (généralement un espace euclidien comme le plan ou l’espace tridimensionnel) par des éléments d'un ensemble fini, appelés tuiles (plus précisément, ce sont des compacts d’intérieur non vide). Généralement, on considère des pavages par translations, c’est-à-dire que deux mêmes tuiles du pavage sont toujours déductibles l’une de l’autre par une translation (à l’exclusion des rotations ou symétries).

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  • Un pavage (ou dallage) est une partition d’un espace (généralement un espace euclidien comme le plan ou l’espace tridimensionnel) par des éléments d'un ensemble fini, appelés tuiles (plus précisément, ce sont des compacts d’intérieur non vide). Généralement, on considère des pavages par translations, c’est-à-dire que deux mêmes tuiles du pavage sont toujours déductibles l’une de l’autre par une translation (à l’exclusion des rotations ou symétries). Il existe aussi des pavages d’espaces non euclidiens, les plus célèbres étant sans doute les nombreux pavages de M.C. Escher (pavages uniformes du plan hyperbolique (en)).
  • Parkietaż, kafelkowanie lub tesselacja – pokrycie płaszczyzny wielokątami przylegającymi i nie zachodzącymi na siebie. Można rozpatrywać parkietaże części płaszczyzny oraz powierzchni, które nie są płaskie (np. parkietaże sfery). Można także badać parkietaże przestrzeni trójwymiarowej i przestrzeni wymiarów wyższych. Nie jest konieczne ograniczanie się do przestrzeni euklidesowych. W praktyce (parkietaż chodnika na zdjęciu) elementy parkietażu nie muszą być wielokątami.Parkietaże często pojawiają się w architekturze (np. Alhambra) i twórczości plastycznej (np. Maurits Cornelis Escher).
  • In geometria piana, si dicono tassellature (talvolta tassellazioni o pavimentazioni) i modi di ricoprire il piano con una o più figure geometriche ripetute all'infinito senza sovrapposizioni.Tali figure geometriche, (dette appunto "tasselli"), sono spesso poligoni, regolari o no, ma possono anche avere lati curvilinei, o non avere alcun vertice. L'unica condizione che solitamente si pone è che siano connessi, anzi semplicemente connessi (ovvero che siano un pezzo unico e non abbiano buchi).In matematica sono state molto studiate anche le tassellazioni dello spazio, dove i tasselli sono solidi.
  • A tessellation of a flat surface is the tiling of a plane using one or more geometric shapes, called tiles, with no overlaps and no gaps. In mathematics, tessellations can be generalized to higher dimensions.A periodic tiling has a repeat pattern. Some special kinds include regular tilings with regular polygonal tiles all of the same shape, and semi-regular tilings with regular tiles of more than one shape and with every corner identically arranged. The patterns formed by periodic tilings can be categorized into 17 wallpaper groups. A tiling that lacks a repeating pattern is called "non-periodic". An aperiodic tiling uses a small set of tile shapes that cannot form a repeating pattern. In the geometry of higher dimensions, a space filling or honeycomb is also called a tessellation of space.A real physical tessellation is a tiling made of materials such as cemented ceramic squares or hexagons. Such tilings may be decorative patterns, or may have functions such as providing durable and water-resistant pavement, floor or wall coverings. Historically, tessellations were used in Ancient Rome and in Islamic art such as in the decorative tiling of the Alhambra palace. In the twentieth century, the work of M. C. Escher often made use of tessellations for artistic effect. Tessellations are sometimes employed for decorative effect in quilting. Tessellations form a class of patterns in nature, for example in the arrays of hexagonal cells found in honeycombs.In computer graphics, the term "tessellation" is used to describe the organization of information needed to render to give the appearance of the surfaces of realistic three-dimensional objects.
  • Un teselado o tesaladoes una regularidad o patrón de figuras que cubre o pavimenta completamente una superficie plana que cumple con dos requisitos: Que no queden huecos Que no se superpongan las figuras Los teselados se crean usando transformaciones isométricas sobre una figura inicial.Distintas culturas en el tiempo han utilizado esta técnica para formar pavimentos o muros de mosaicos en catedrales y palacios. Algunos mosaicos sumerios con varios miles de años de antigüedad contienen regularidades geométricas. Arquímedes en el siglo III a. C. hizo un estudio acerca de los polígonos regulares que pueden cubrir el plano Johannes Kepler, astrónomo alemán, estudió los polígonos regulares que pueden cubrir el plano, en su obra “Harmonice mundi” de 1619. Además realizó estudios en tres dimensiones de los llamados sólidos platónicos. Entre 1869 y 1891, el matemático Camille Jordan, el cristalógrafo Evgenii Konstantinovitch Fiodorov y la psicóloga Camila Rial estudiaron completamente las simetrías del plano, iniciando así el estudio sistemático y profundo de los llamados teselados. Un personaje clave en este tema es el artista holandés M. C. Escher (1898-1972) quien, por sugerencia de su amigo el matemático H. S. M. Coxeter, aprendió los teselados hiperbólicos, lo que motivó su interés por el palacio de La Alhambra en Granada. Llegó a un sinnúmero de bellas, curiosas y misteriosas obras de arte.
  • 쪽매맞춤은 평면 도형을 겹치지 않으면서 빈틈이 없게 모으는 것이다. 테셀레이션(tessellation)이라고도 한다. 정다각형 중 쪽 맞추기가 가능한 정다각형은 정삼각형, 정사각형, 정육각형이 있다.
  • A tesszaláció az a folyamat, amikor egy kétdimenziós síkon egy geometriai formát ismételnek átlapolás és rések nélkül. A tesszalációs folyamatot magasabb dimenziókra is ki lehet terjeszteni.A tesszaláció megfigyelhető az ókori építészettől a modern művészetekig és a természetben.A tesszalációra egy építészeti példa az Alhambra tetőcserepei, mely a neves művészt, M. C. Eschert is inspirálta. A természetben a méhsejt felépítése is tesszaláció.1618-ban Johannes Kepler dokumentálta először a tesszalációt. 1891-ben Jevgraf Fjodorov orosz krisztallográfus megfigyelései indították el a tesszaláció matematikai tanulmányozását.A számítógépes grafika gyakran használja a tesszalációs technikát téglalap alakú szerkezetek összeállítására. 3D testek analízise gyakran elég komplikált feladat. Ezért tesszalációs módszerekkel, kis hálózatokra való bontással közelítik. Ez a módszer felhasználható a végeselemes módszer alkalmazására is.Geodézikus kupoláknál is gyakran használják a tesszalációt. Erre példa a Walt Disney Világban a Föld-űrhajó-modell.
  • Matematikte bir döşeme (veya karolama, süsleme), aralarında boşluk bırakmadan veya örtüşmeden bir düzlemi kaplayan düzlemsel şekiller kümesidir. Bu kavram daha yüksek boyutlar için de genellenebilir, bu genişletilmiş anlamı için döşeme yerine tesselasyon terimi kullanılır. Tesselasyon M. C. Escher'in eserlerinde sıkça görülebilir. Tesselasyona sanat tarihi boyunca, antik mimariden modern sanata kadar rastlanabilir.Latince tessella, mozaik yapmakta kullanılan küp şekilli bir kil, taş veya cam parçasıdır. "Tessella" sözcüğü (kare anlamına gelen "tessera"dan gelir, onun kaynağı da "dört" anlamına gelen Yunanca sözcüktür) küçük kare anlamına gelir. Gündelik dilde parke, karo veya çini döşeme, bu malzemelerin tesselasyon şeklinde yere veya duvara döşenmesidir. Döşeme sözcüğü hem bu tür düzlem kaplayıcı cisim veya şekillere, hem de bu cisimlerle veya şekillerle kaplanmış yüzey için kullanılır. Anlam kargaşasına yol açmamak için, aşağıdaki metinde, düzlemi kaplayıcı şekiller için karo terimi kullanılacaktır, ama "karo"nun gündelik dildeki anlamının aksine, tessalasyon yapmakta kullanılan şekillerin dörtgen olma şartı yoktur.
  • In der Mathematik bezeichnet Parkettierung (auch Kachelung, Pflasterung, oder Flächenschluss) die lückenlose und überlappungsfreie Überdeckung der (euklidischen) Ebene durch gleichförmige Teilflächen. Das Konzept kann auch auf höhere Dimensionen erweitert werden.Bei praktischen Anwendungen wird die Überdeckung mit Hilfe von Primitiven („primitiven“ Flächen-Formen, möglichst mit einem einfachen Polygon) bevorzugt, wofür der entsprechend einschränkende Begriff Tessellation (englisch für „Mosaik“) verwendet wird. Wenn in einer technischen Anwendung ein großes Blech in nicht-primitive Teilflächen (Werkstücke) aufzuteilen ist, wird versucht diese so zu gestalten, dass eine Parkettierung durch ungleiche Teilflächen vorliegt und kein Abfall entsteht.Die „zyklische Aufteilung von Flächen“ mit ungleichförmigen Teilflächen (keine Polygone) in der Kunst kommt sehr ausgeprägt bei M. C. Escher vor.Analog zur Parkettierung beziehungsweise zur Tessellation der Ebene (2D) kann auch der drei- oder höherdimensionale Raum unterteilt werden.
  • 平面充填(へいめんじゅうてん)とは、平面内を有限種類の平面図形(タイル)で隙間なく敷き詰める操作である。敷き詰めたタイルからなる平面全体を平面充填形という。平面敷き詰め、タイル貼り、タイリング (tiling) 、テセレーション (tessellation) ともいう。ただし「平面」を明言しない場合は、曲面充填や、場合によっては2次元以外の空間の充填を含む。広義のテセレーション等については、空間充填を参照。平面充填は広義の空間充填の一種で、2次元ユークリッド空間の充填である。多面体は多角形による球面充填(曲面充填の一種)と考えることができる。そのため、多角形による平面充填は多面体と共通点が多く、便宜上多面体に含めて論じられることもある。
  • Een betegeling of tessellatie van een vlak staat voor een collectie van vormen die dit vlak in zijn geheel opvullen zonder dat sommige tegels elkaar mogen overlappen. Men spreekt ook van betegelingen van delen van een vlak of van andere oppervlaktes. Ook zijn generalisaties naar hogere dimensies mogelijk. M. C. Escher maakt in zijn kunst veel gebruik van betegelingen. Door de hele kunstgeschiedenis, van de architectuur uit de Oudheid tot in de moderne kunst, zien we betegelingen terugkomen.In het Latijn was een tessella een klein kubusvormig stukje van klei, steen of glas dat werd gebruikt om mozaïeken te leggen. Het woord "tessella" betekent "klein vlak" (van "tessera", vierkant, wat op zijn beurt van het Griekse woord voor "vier" komt). Het woord heeft goeddeels dezelfde lading als het meer alledaagse woord betegeling, dat verwijst naar toepassingen van tesselaties van geglazuurde wandtegels in bijvoorbeeld badkamers.
  • Una tessel·lació és una regularitat o patró de figures que cobreix o pavimenta completament una superfície plana que compleix amb dos requisits: Que no quedin espais buits Que no se superposin les figures Les tessel·lacions es creen usant transformacions isomètriques sobre una figura inicial. Diferents cultures en el temps han utilitzat aquesta tècnica per formar paviments o murs de mosaics en catedrals i palaus. Alguns mosaics sumeris amb uns quants milers d'anys d'antiguitat contenen regularitats geomètriques. Arquimedes al segle III aC va fer un estudi sobre els polígons regulars que poden cobrir el pla. Johannes Kepler, astrònom alemany, va estudiar els polígons regulars que poden cobrir el pla, en la seva obra Harmonice mundi de 1619. A més va realitzar estudis en tres dimensions dels anomenats sòlids platònics. Entre 1869 i 1891, el matemàtic Camille Jordan i el cristal·lògraf Evgenii Konstantinovitch Fiodorov van estudiar completament les simetries del pla, iniciant així l'estudi sistemàtic i profund de tessel·lacions. Un personatge clau en aquest tema és l'artista holandès M. C. Escher (1898 - 1972) que, per suggeriment del seu amic el matemàtic H. S. M. Coxeter, va aprendre les tessel·lacions hiperbòliques, cosa que va motivar el seu interès pel palau de l'Alhambra de Granada. Va llegar a un gran nombre de belles, curioses i misterioses obres d'art.
  • Uma laje é uma pedra chata ou mosaico com que se cobrem pavimentos. A superfície é coberta de modo que não existiam nem espaços entre elas, nem sobreposições, ou seja que o seu tamanho total seja igual ao espaço particionado. A laje é como que um ladrilho de maiores dimensões. Laje é sinónimo de uma pedra de sepultura .No Brasil fala-se de tesselação e a palavra parece ter origem no latim tessela, uma pequena peça cública de barro, ou vidro usada para fazer mosaicos.Maurits Cornelis Escher produziu obras de arte onde aparecem mosaicos com alguma frequência. Ao longo da história de arte foram aparecendo ladrilhos desde a arquitectura antiga até à arte moderna.
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  • Tessellation
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  • les pavages
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  • Charles Radin
  • Jarkko Kari
  • Raphael Robinson
  • Southern Polytechnic State University
  • pavages uniformes du plan hyperbolique
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  • en
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  • Uniform tilings in hyperbolic plane
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  • Un pavage (ou dallage) est une partition d’un espace (généralement un espace euclidien comme le plan ou l’espace tridimensionnel) par des éléments d'un ensemble fini, appelés tuiles (plus précisément, ce sont des compacts d’intérieur non vide). Généralement, on considère des pavages par translations, c’est-à-dire que deux mêmes tuiles du pavage sont toujours déductibles l’une de l’autre par une translation (à l’exclusion des rotations ou symétries).
  • 쪽매맞춤은 평면 도형을 겹치지 않으면서 빈틈이 없게 모으는 것이다. 테셀레이션(tessellation)이라고도 한다. 정다각형 중 쪽 맞추기가 가능한 정다각형은 정삼각형, 정사각형, 정육각형이 있다.
  • 平面充填(へいめんじゅうてん)とは、平面内を有限種類の平面図形(タイル)で隙間なく敷き詰める操作である。敷き詰めたタイルからなる平面全体を平面充填形という。平面敷き詰め、タイル貼り、タイリング (tiling) 、テセレーション (tessellation) ともいう。ただし「平面」を明言しない場合は、曲面充填や、場合によっては2次元以外の空間の充填を含む。広義のテセレーション等については、空間充填を参照。平面充填は広義の空間充填の一種で、2次元ユークリッド空間の充填である。多面体は多角形による球面充填(曲面充填の一種)と考えることができる。そのため、多角形による平面充填は多面体と共通点が多く、便宜上多面体に含めて論じられることもある。
  • Matematikte bir döşeme (veya karolama, süsleme), aralarında boşluk bırakmadan veya örtüşmeden bir düzlemi kaplayan düzlemsel şekiller kümesidir. Bu kavram daha yüksek boyutlar için de genellenebilir, bu genişletilmiş anlamı için döşeme yerine tesselasyon terimi kullanılır. Tesselasyon M. C. Escher'in eserlerinde sıkça görülebilir.
  • Parkietaż, kafelkowanie lub tesselacja – pokrycie płaszczyzny wielokątami przylegającymi i nie zachodzącymi na siebie. Można rozpatrywać parkietaże części płaszczyzny oraz powierzchni, które nie są płaskie (np. parkietaże sfery). Można także badać parkietaże przestrzeni trójwymiarowej i przestrzeni wymiarów wyższych. Nie jest konieczne ograniczanie się do przestrzeni euklidesowych.
  • Un teselado o tesaladoes una regularidad o patrón de figuras que cubre o pavimenta completamente una superficie plana que cumple con dos requisitos: Que no queden huecos Que no se superpongan las figuras Los teselados se crean usando transformaciones isométricas sobre una figura inicial.Distintas culturas en el tiempo han utilizado esta técnica para formar pavimentos o muros de mosaicos en catedrales y palacios.
  • Una tessel·lació és una regularitat o patró de figures que cobreix o pavimenta completament una superfície plana que compleix amb dos requisits: Que no quedin espais buits Que no se superposin les figures Les tessel·lacions es creen usant transformacions isomètriques sobre una figura inicial. Diferents cultures en el temps han utilitzat aquesta tècnica per formar paviments o murs de mosaics en catedrals i palaus.
  • In geometria piana, si dicono tassellature (talvolta tassellazioni o pavimentazioni) i modi di ricoprire il piano con una o più figure geometriche ripetute all'infinito senza sovrapposizioni.Tali figure geometriche, (dette appunto "tasselli"), sono spesso poligoni, regolari o no, ma possono anche avere lati curvilinei, o non avere alcun vertice.
  • Uma laje é uma pedra chata ou mosaico com que se cobrem pavimentos. A superfície é coberta de modo que não existiam nem espaços entre elas, nem sobreposições, ou seja que o seu tamanho total seja igual ao espaço particionado. A laje é como que um ladrilho de maiores dimensões.
  • A tessellation of a flat surface is the tiling of a plane using one or more geometric shapes, called tiles, with no overlaps and no gaps. In mathematics, tessellations can be generalized to higher dimensions.A periodic tiling has a repeat pattern. Some special kinds include regular tilings with regular polygonal tiles all of the same shape, and semi-regular tilings with regular tiles of more than one shape and with every corner identically arranged.
  • In der Mathematik bezeichnet Parkettierung (auch Kachelung, Pflasterung, oder Flächenschluss) die lückenlose und überlappungsfreie Überdeckung der (euklidischen) Ebene durch gleichförmige Teilflächen.
  • A tesszaláció az a folyamat, amikor egy kétdimenziós síkon egy geometriai formát ismételnek átlapolás és rések nélkül. A tesszalációs folyamatot magasabb dimenziókra is ki lehet terjeszteni.A tesszaláció megfigyelhető az ókori építészettől a modern művészetekig és a természetben.A tesszalációra egy építészeti példa az Alhambra tetőcserepei, mely a neves művészt, M. C. Eschert is inspirálta.
  • Een betegeling of tessellatie van een vlak staat voor een collectie van vormen die dit vlak in zijn geheel opvullen zonder dat sommige tegels elkaar mogen overlappen. Men spreekt ook van betegelingen van delen van een vlak of van andere oppervlaktes. Ook zijn generalisaties naar hogere dimensies mogelijk. M. C. Escher maakt in zijn kunst veel gebruik van betegelingen.
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  • Pavage
  • Betegeling
  • Laje (pavimento)
  • Parkettierung
  • Parkietaż
  • Tassellatura
  • Teselado
  • Tesselasyon
  • Tessellation
  • Tessel·lació
  • Tesszaláció
  • Паркет (геометрия)
  • 平面充填
  • 쪽매맞춤
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