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| - Comme ci-dessus, z désigne la racine primitive cinquième privilégiée, à savoir et le générateur m du groupe de Galois est l'automorphisme sur Q de l'extension ℚ uniquement défini par l'identité :
.
Déterminons les éléments de ℚ laissés invariants par la conjugaison complexe m. Or, m= z ; m = z ; et enfin m est d'ordre 2. Donc u = z + z et son image v = m = z + z sont clairement invariants par m. De plus, leur somme u + v et leur produit uv sont invariants par m et donc par le groupe de Galois ; on s'attend à ce qu'ils soient donc rationnels. La somme u + v est la somme des quatre racines cinquièmes et vaut donc –1 ; le produit est aussi égal à la somme des racines cinquièmes primitives, soit –1.
On en déduit que u et v vérifie l'équation P = 0 où :
Ces formules auraient pu être démontrées en remarquant que z est le conjugué de z. Il en est de même avec z et z.
En effet, on a :
avec :
et le carré du conjugué est égal au conjugué du carré de z.
L'ensemble des points fixes par m, donc par H forment une extension intermédiaire de Q, notée habituellement ℚ. Le polynôme Φ se factorise dans l'algèbre ℚ[X] comme suit :
et dans ℚ[X], le polynôme prend la forme :
. (fr)
- Choisir m tel que m = z n'est pas la solution car m est d'ordre 8. Il est donc plus judicieux de choisir m tel que m = z
m et m restreints aux racines sont donc deux permutations décrites par :
Alors u est la somme des racines de puissance : 1, 9, 13, 15, 16, 8, 4, 2 et u les autres. Leur somme est égale à la somme des racines donc –1 et leur produit à quatre fois la somme des racines donc –4.
On obtient :
Pour appliquer cette même logique une deuxième fois, déterminons m :
Notons alors v la somme des racines d'exposant 1, 13, 16, 4, v la somme des racines d'exposant 2, 9, 15, 8, v la somme des racines d'exposant 3, 5, 14, 12 et v la somme des racines d'exposant 10, 11, 7, 6.
Le calcul effectif donne :
L'étape suivante ne demande pas la détermination de m car il est établi que cette application est le conjugué, à une racine d'exposant i elle associe donc la racine d'exposant 17 - i. On choisit alors w comme la somme des racines d'exposant 1 et 16 et w comme la somme des racines d'exposant 13 et 4. On obtient :
Le calcul de w suffit pour obtenir la racine primitive. On sait par construction que ce coefficient est égal à la somme de la première racine primitive et de son conjugué. On en déduit alors que
La construction à la règle et au compas est moins douloureuse qu'il n'y paraît, u a pour radical une longueur égal à l'hypoténuse d'un triangle de côté 5/4. u a pour radical l'hypoténuse d'un triangle de côté 2 et u. Seule l'étape suivante est un peu pénible.
Un développement brutal laisserait en effet à penser à une construction plus délicate. Il donne. (fr)
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