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| - Nous allons démontrer que l'équation précédente contient la conservation de l'énergie. Dans le cas classique cela revient à prendre la composante temporelle de l'équation .
La quantité mesure la variation d'une quantité X le long de la trajectoire de l'élément de fluide. Elle correspond donc à la variation de cette quantité transportée par l'élément de fluide. On la note communément , étant le temps propre associé à l'élément de fluide. On obtient ainsi
:.
En effectuant le produit scalaire de cette équation avec la quadrivitesse, il vient alors, en notant par un point la dérivée par rapport à ,
:.
La quadrivitesse ayant une norme constante, , une quantité du type est nulle. Il vient donc
:.
Le terme , habituellement noté est appelé expansion de l'élément de fluide. Dans la limite non relativiste, il correspond à la divergence du vecteur vitesse, ce qui correspond au taux de variation de son volume. Ainsi, on a
:,
ce qui permet de réécrire l'équation en
:.
Enfin, l'hypothèse de conservation du nombre de particules s'écrit
:,
où n représente la densité de particules. Elle est reliée à sa densité d'énergie de masse par la formule
:,
m étant la masse des particules. Cette équation s'interprète par le fait que le nombre de particules de l'élément de fluide étant contant, la variation de la densité de celles-ci le long de l'écoulement est uniquement due à la variation du volume de l'élément En pratique, si l'on repasse en termes de coordonnées, la densité de particules est une fonction des coordonnées d'espace et de temps, . Si l'élément de fluide possède une trajectoire , alors sa variation le long de la trajectoire se fait selon celle de , et correspond donc à
:.
Ainsi, on obtient
:,
que l'on peut regrouper en
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Ainsi, l'équation initiale laisse uniquement
:,
ce qui se réécrit
: ;
comme annoncé on retrouve la conservation de l'énergie de la particule fluide :
:. (fr)
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