prop-fr:contenu
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- Soit V la vitesse de l'aéronef. On suppose qu'il rencontre une rafale de vitesse v. Comme la vitesse sol est localement constante, la vitesse air augmentera et deviendra V + r. On suppose que l'aéronef garde une assiette constante. L'angle d'attaque sera constant aussi et donc le coefficient de portance sera constant.
Avant la rencontre avec la rafale, la portance est :
:
L'aéronef est en équilibre et donc : L = W.
On suppose qu'après une rafale horizontale brutale, la vitesse air devient V_0 + v.
Après avoir rencontré la rafale, la portance deviendra alors :
:
La force vers le haut est donc :
:
On remarque donc que :
:
L'accélération vers le haut est donc :
:
L'énergie totale est conservée à l'intérieur de la rafale horizontale. Donc,
:
On pose E = V/2. On obtient alors :
:
On dérive cette équation. Donc,
:
On dérive une seconde fois :
:
On remplace la dérivée seconde de h par l'accélération et donc :
:
Et donc :
:
On a :
:
Donc,
:
On remplace :
:
Donc,
:
On définit :
:
On obtient alors :
:
On définit alors :
:
Donc,
:
On résout donc :
:
La solution générale est donc :
:
À t = 0, on a E' donné. Donc,
:
Et donc,
:
On a donc :
:
À t = 0, on a la vitesse verticale qui est nulle car l'accélération est finie. Donc,
:
Et donc, B = 0. Finalement, on a donc :
:
Donc,
:
On rappelle que :
:
L'accélération verticale est donc :
:
Donc,
:
Donc,
: (fr)
- On rappelle que :
:
Donc,
:
On rappelle que W = m g. On obtient donc :
:
Donc,
:
Donc,
:
Donc,
:
Donc,
:
On calcule la primitive suivante :
:
On rappelle que x = V t.
Donc,
:
On intègre par parties :
:
On recommence encore une fois et donc :
:
On définit
On obtient alors :
:
Donc,
:
Donc :
:
Donc,
:
Donc,
:
Il y a une simplification :
:
On rappelle que :
:
Donc,
:
On rappelle que :
Donc,
:
Donc,
:
On pose maintenant les conditions aux limites. À t = 0, on a . Donc,
:
Donc,
:
Donc,
:
Donc,
: (fr)
- On rappelle que :
:
La vitesse V correspond au planeur n'ayant pas de force extérieure en l'absence de courants verticaux. Donc,
:
Donc,
:
On remplace et donc :
:
On calcule la primitive et donc :
:
On rappelle que
Donc,
:
Et donc,
:
Ceci est un produit de convolution.
À t = 0, on a w=0. Donc,
:
Donc,
:
On peut supposer que pour t < 0, on a w = 0 et donc,
:
De même, on définit la fonction h = 0 pour t < 0 et pour t ≥ 0. Donc,
: (fr)
- Si l'on considère un tourbillon se comportant comme un solide de vitesse angulaire Ω, la vitesse linéaire et coordonnées cylindriques est :
Pour simplifier, on considère l'axe Ω étant Ox . On a alors:
:
Donc,
:
On calcule maintenant la vorticité . On a :
:
Il y a une légère simplification :
:
Donc,
:
Donc,
:
Finalement :
:
Suivant l'axe Oy, la vitesse verticale w vaudra :
: (fr)
- Ici, l'on a :
On rappelle que .
En outre, on ne peut donc pas supposer que κτ est petit. On reprend la formule supra et l'accélération devient :
:
Donc,
:
L'accélération est maximale lorsque le jerk est nul. On écrit :
:
On résout donc :
:
Donc,
:
On a donc :
:
On peut supposer que et donc :
: (fr)
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