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- thumb|left|Conchoïde d'un cercle (pôle interne au cercle) Calculons tout d'abord l'équation du cercle de centre C. L'équation cartésienne d'un cercle étant , on a, avec , , , et :
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- Dans cette démonstration, on notera α la mesure de l'angle . On sait, d'après les propriétés de la conchoïde, que IN = NP = d. Le triangle INP est donc isocèle avec .
De plus, en considérant le cercle de centre N passant par P, on utilise le théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre afin de montrer que . Le triangle NOI est isocèle, ce qui nous indique que . Les angles et étant alternes-internes, on en déduit que .
Or, . Par conséquent, les angles et étant alternes-internes, . (fr)
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On peut en conclure que la conchoïde du cercle de centre C a pour équation polaire puisque al = d. (fr)
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On résout cette équation du second degré :
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