| rdfs:comment
| - En algèbre linéaire, la comatrice d'une matrice carrée A est une matrice carrée de même taille, dont les coefficients, appelés les cofacteurs de A, interviennent dans le développement du déterminant de A suivant une ligne ou une colonne. Si A est une matrice inversible, sa comatrice intervient également dans une expression de son inverse. Dans cette page, A désigne une matrice carrée d'ordre n à coefficients dans un anneau commutatif K. (fr)
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| prop-fr:contenu
| - Si , les matrices telles que sont la matrice nulle et les matrices spéciales orthogonales.
Si , ce sont les matrices multiples des matrices spéciales orthogonales. (fr)
- *Les égalités et sont immédiates.
*Produit : si et sont inversibles, la formule résulte des propriétés multiplicatives de la transposition, de l'inversion et du déterminant. Or l'équation est polynomiale, à coefficients entiers, en les éléments des deux matrices et B. En considérant ces éléments comme les indéterminées d'un anneau de polynômes à coefficients dans ℤ, et en appliquant ce qui précède au corps des fractions associé , on obtient donc une égalité « absolue ». Lorsqu'on remplace ensuite ces indéterminées par les éléments d'un anneau commutatif quelconque, l'égalité est maintenue.
*Rang :
**Si est inversible alors a pour inverse .
**Si est de rang et en supposant, par exemple, que ses premières colonnes sont linéairement indépendantes et que la dernière en est une combinaison linéaire, avec comme coefficients λ, … , λ, alors, dans , la dernière colonne est non nulle et la k-ième, pour tout , est le produit de la dernière par .
**Si est de rang inférieur à alors, dans , colonnes quelconques sont liées donc tous les cofacteurs sont nuls.
*Déterminant : si et est inversible alors . Pour non inversible, on peut faire le même « raisonnement générique » que pour le produit ou — si l'on se contente du cas où les matrices sont à coefficients dans un corps — remarquer plus simplement que les deux membres sont nuls d'après les propriétés du rang. Pour des matrices à coefficients réels ou complexes, on peut aussi raisonner par densité.
*Comatrice de la comatrice : si , donc si est inversible, . Le cas général se ramène au cas inversible comme ci-dessus.
*Polynôme caractéristique : d'après le théorème de Cayley-Hamilton, donc . Si est inversible, on en déduit . Le cas général se ramène au cas inversible comme ci-dessus. (fr)
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| has abstract
| - En algèbre linéaire, la comatrice d'une matrice carrée A est une matrice carrée de même taille, dont les coefficients, appelés les cofacteurs de A, interviennent dans le développement du déterminant de A suivant une ligne ou une colonne. Si A est une matrice inversible, sa comatrice intervient également dans une expression de son inverse. Dans cette page, A désigne une matrice carrée d'ordre n à coefficients dans un anneau commutatif K. (fr)
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