| prop-fr:contenu
| - On sait qu'il existe des idéaux premiers dont le produit est inclus dans I. Un idéal premier quelconque Q de A contenant I contient en particulier le produit des . Une propriété caractéristique des idéaux premiers indique que l'idéal premier Q contient l'un des . Ainsi, les éléments minimaux parmi les idéaux sont les idéaux minimaux contenant I.
* Tout idéal radiciel de A est intersection finie d'idéaux premiers : (fr)
- Une preuve plus compliquée, mais instructive, est d'utiliser la décomposition primaire , en remarquant que le radical de tout idéal primaire est premier, et que dans un anneau noethérien, tout idéal contient une puissance de son radical.
* Existence et finitude des idéaux premiers minimaux contenant un idéal I : (fr)
- Montrons la première assertion, par l'absurde. Soit F l'ensemble, supposé non vide, des idéaux de A qui ne contiennent aucun produit d'idéaux premiers . Soit I un élément maximal de F. L'idéal I est propre et non premier. D'après une propriété caractéristique des idéaux non premiers, il existe donc deux idéaux J et K tels que I contienne le produit J.K mais soit strictement contenu dans J et K. Alors les idéaux J et K n'appartiennent pas à F, donc chacun d'eux contient un produit d'idéaux premiers. Comme I contient leur produit, on aboutit à une contradiction, ce qui termine la démonstration du premier point. (fr)
- On montre en fait un peu mieux : dans un anneau noethérien, tout idéal est intersection finie d'idéaux irréductibles, et tout idéal irréductible est primaire.
** Pour le premier point, on raisonne par l'absurde comme précédemment : soient F l'ensemble, supposé non vide, des idéaux de A qui ne sont pas intersection finie d'irréductibles, et I un élément maximal de F. Alors I est réductible donc égal à l'intersection de deux idéaux J et K dans lesquels il est strictement inclus. Par maximalité, J et K n'appartiennent pas à F, donc chacun d'eux est intersection finie d'irréductibles, d'où la contradiction.
** Pour le second point, Le défi algébrique, tome 2, de Claude Mutafian, p. 239, ou , chapitre II, § 2, exercice 22, ou encore . (fr)
- On raisonne à nouveau par l'absurde comme précédemment, en considérant l'ensemble, supposé non vide, des idéaux principaux de A engendrés par des éléments non nuls et non inversibles qui ne vérifient pas la propriété énoncée. Cet ensemble admettant un élément maximal pour l'inclusion, on conclut aisément à une contradiction en étudiant cet élément maximal. (fr)
- Soit I un idéal radiciel de A. On sait qu'il existe des idéaux premiers tels que . Mais si alors , donc , d'où l'égalité .
* Tout idéal est intersection finie d'idéaux primaires : (fr)
- Soit J un idéal quelconque de A[X] ; l'objectif est de montrer que J est de type fini, ce qui prouvera que A[X] est noethérien.
Soit la suite d'idéaux de A définie par :
Cette suite est croissante donc constante à partir d'un rang r . La réunion de tous les Dn est donc égale à Dr.
Pour chaque entier n, l'idéal Dn est de type fini donc possède une famille génératrice finie . Pour chacun de ces an,i, soit Pn,i un polynôme de J de degré n et de coefficient dominant égal à an,i.
Montrons que la famille finie , doublement indexée par n inférieur ou égal à r et par i dans In, engendre J. Cette assertion signifie que tout polynôme Q de J s'exprime comme combinaison linéaire à coefficients dans A[X] de cette famille .
Si Q est nul, c'est immédiat. Sinon, on se ramène à ce cas par récurrence sur le degré d de Q : supposons que la famille engendre tous les polynômes de J de degré strictement inférieur à l'entier naturel d .
Soient q le coefficient dominant de Q et s=min. Alors q appartient à Dd=Ds. Il existe en conséquence une famille d'éléments de A telle que
L'hypothèse de récurrence montre que Q est engendré par la famille , ce qui termine la démonstration. (fr)
- * Tout idéal de A contient un produit d'idéaux premiers, ou plus précisément, tout idéal I de A contient un produit d'idéaux premiers qui contiennent I : (fr)
- * Si A est intègre, tout élément non nul et non inversible est produit d'un nombre fini d'irréductibles : (fr)
- En raison de la correspondance biunivoque entre les idéaux premiers de l'anneau quotient A/I et ceux de l'anneau A contenant I, on déduit le second point du premier appliqué à l'idéal de l'anneau A/I. (fr)
|
![[RDF Data]](/fct/images/sw-rdf-blue.png)
![[cxml]](/fct/images/cxml_doc.png)
![[csv]](/fct/images/csv_doc.png)
![[text]](/fct/images/ntriples_doc.png)
![[turtle]](/fct/images/n3turtle_doc.png)
![[ld+json]](/fct/images/jsonld_doc.png)
![[rdf+json]](/fct/images/json_doc.png)
![[rdf+xml]](/fct/images/xml_doc.png)
![[atom+xml]](/fct/images/atom_doc.png)
![[html]](/fct/images/html_doc.png)