. "3675389"^^ . . . . "https://books.google.fr/books?id=v4NSAlsTwnQC&pg=PA106|num\u00E9ro chapitre=IV"@fr . . . . . "\u041E\u0442\u043D\u043E\u0448\u0435\u043D\u0438\u0435 \u0420\u044D\u043B\u0435\u044F"@ru . . . . "1945"^^ . . . . . "Quotient de Rayleigh"@fr . "176669914"^^ . . . "106"^^ . ";Preuve de la propri\u00E9t\u00E9 2 :\n\nDans le cas r\u00E9el, la matrice sym\u00E9trique est diagonalisable dans le sens o\u00F9 il existe une matrice orthogonale et une matrice diagonale dont les coefficients sont les valeurs propres telles que\n:\n\nDans le cas complexe, la matrice hermitienne peut \u00EAtre diagonalis\u00E9e \u00E0 l\u2019aide d\u2019une matrice unitaire et le raisonnement est identique.\n\nLe changement de variable pr\u00E9serve la norme euclidienne et ainsi\n:\n\nDans les variables , le quotient de Rayleigh est une moyenne pond\u00E9r\u00E9e des valeurs propres, ce qui justifie la propri\u00E9t\u00E9 2.\n\n;Preuve de la propri\u00E9t\u00E9 3 :\n\nOn suppose que les valeurs propres sont distinctes les unes des autres ; dans le cas contraire, il suffit de rassembler les termes de par groupes de valeurs propres multiples.\n\nOn v\u00E9rifie que le gradient et la matrice hessienne de s\u2019\u00E9crivent respectivement\n:\n:\n\no\u00F9 est une matrice diagonale :\n:\n:\n\nAvec des valeurs propres distinctes, le gradient s\u2019annule si et seulement si tous les sont nuls sauf un. En choisissant arbitrairement un indice et en posant , on en d\u00E9duit :\n:\n:\n: est diagonale avec \n\nFinalement\n* Si est l\u2019une des deux valeurs propres extr\u00EAmes, il s\u2019agit bien d\u2019un extremum de car les \u00E9l\u00E9ments de sont de m\u00EAme signe.\n* Sinon, les termes diagonaux de changent de signe et il s\u2019agit d\u2019un point-selle.\n\nRemarque : refl\u00E8te le caract\u00E8re homog\u00E8ne de .\n\n;Autre approche :\n\nLa norme de n\u2019ayant pas d\u2019effet par la propri\u00E9t\u00E9 1, on peut \u00E9galement formuler le probl\u00E8me par la m\u00E9thode des multiplicateurs de Lagrange en recherchant qui maximise sous la contrainte Il s\u2019agit ainsi de consid\u00E9rer la fonction\n:\n\net de rechercher et qui annulent la diff\u00E9rentielle de . La solution est donn\u00E9e par les conditions n\u00E9cessaires suivantes :\n:\n:"@fr . "Quoziente di Rayleigh"@it . . . . . "Philippe Ciarlet"@fr . . . "Rayleigh-Quotient"@de . "Introduction \u00E0 l\u2019analyse num\u00E9rique matricielle et \u00E0 l\u2019optimisation"@fr . "The Theory of Sound"@fr . "14564"^^ . . . . "en"@fr . . . . "Math. Appl. pour le Master"@fr . . . . "El\u00E9ments de justification"@fr . . . . . "2006"^^ . "Philippe"@fr . "Masson"@fr . . . . . . . "1877"^^ . . "McMillan Co."@fr . . . . . . "Vibrating systems in general"@fr . . . . . "0978-02-10"^^ . . . "5"^^ . "I"@fr . "En math\u00E9matiques, pour une matrice hermitienne A et un vecteur x non nul, le quotient de Rayleigh est l\u2019expression scalaire d\u00E9finie par o\u00F9 x* d\u00E9signe le vecteur adjoint de x. Pour une matrice sym\u00E9trique \u00E0 coefficients r\u00E9els, le vecteur x* est simplement son transpos\u00E9 xT. Dans les deux cas, le quotient de Rayleigh fournit une valeur r\u00E9elle qui renseigne sur le spectre de la matrice par les deux propri\u00E9t\u00E9s fondamentales suivantes : Ces deux propri\u00E9t\u00E9s peuvent \u00EAtre exploit\u00E9es pour d\u00E9terminer num\u00E9riquement les valeurs, vecteurs et espaces propres d'un op\u00E9rateur hermitien ou sym\u00E9trique."@fr . . . . . . . "Ciarlet"@fr . . . . . . . . . "\u30EC\u30A4\u30EA\u30FC\u5546"@ja . . "279"^^ . . "En math\u00E9matiques, pour une matrice hermitienne A et un vecteur x non nul, le quotient de Rayleigh est l\u2019expression scalaire d\u00E9finie par o\u00F9 x* d\u00E9signe le vecteur adjoint de x. Pour une matrice sym\u00E9trique \u00E0 coefficients r\u00E9els, le vecteur x* est simplement son transpos\u00E9 xT. Dans les deux cas, le quotient de Rayleigh fournit une valeur r\u00E9elle qui renseigne sur le spectre de la matrice par les deux propri\u00E9t\u00E9s fondamentales suivantes : \n* il atteint un point critique (extremum ou point-selle) au voisinage des vecteurs propres de la matrice ; \n* appliqu\u00E9 \u00E0 un vecteur propre, le quotient de Rayleigh fournit la valeur propre correspondante. Ces deux propri\u00E9t\u00E9s peuvent \u00EAtre exploit\u00E9es pour d\u00E9terminer num\u00E9riquement les valeurs, vecteurs et espaces propres d'un op\u00E9rateur hermitien ou sym\u00E9trique. Le quotient de Rayleigh, dont la propri\u00E9t\u00E9 d'extremum peut \u00EAtre reli\u00E9e au principe du minimum de l'\u00E9nergie potentielle en m\u00E9canique, a \u00E9t\u00E9 \u00E9tudi\u00E9 pour la premi\u00E8re fois par Rayleigh (1877).Walter Ritz reprit l'id\u00E9e en 1909 pour en faire la base d\u2019une m\u00E9thode d\u2019approximation variationnelle."@fr . . . . . . . "0"^^ . . .