. . . . . . . "Stelling van Gauss-Wantzel"@nl . . "Calcul"@fr . "En g\u00E9om\u00E9trie, le th\u00E9or\u00E8me de Gauss-Wantzel \u00E9nonce une condition n\u00E9cessaire et suffisante pour qu'un polygone r\u00E9gulier soit constructible \u00E0 la r\u00E8gle et au compas."@fr . . . . . . . . "Comme ci-dessus, z d\u00E9signe la racine primitive cinqui\u00E8me privil\u00E9gi\u00E9e, \u00E0 savoir et le g\u00E9n\u00E9rateur m du groupe de Galois est l'automorphisme sur Q de l'extension \u211A uniquement d\u00E9fini par l'identit\u00E9 :\n.\nD\u00E9terminons les \u00E9l\u00E9ments de \u211A laiss\u00E9s invariants par la conjugaison complexe m. Or, m= z ; m = z ; et enfin m est d'ordre 2. Donc u = z + z et son image v = m = z + z sont clairement invariants par m. De plus, leur somme u + v et leur produit uv sont invariants par m et donc par le groupe de Galois ; on s'attend \u00E0 ce qu'ils soient donc rationnels. La somme u + v est la somme des quatre racines cinqui\u00E8mes et vaut donc \u20131 ; le produit est aussi \u00E9gal \u00E0 la somme des racines cinqui\u00E8mes primitives, soit \u20131.\nOn en d\u00E9duit que u et v v\u00E9rifie l'\u00E9quation P = 0 o\u00F9 :\n\nCes formules auraient pu \u00EAtre d\u00E9montr\u00E9es en remarquant que z est le conjugu\u00E9 de z. Il en est de m\u00EAme avec z et z.\nEn effet, on a :\n\navec :\n\net le carr\u00E9 du conjugu\u00E9 est \u00E9gal au conjugu\u00E9 du carr\u00E9 de z.\n\nL'ensemble des points fixes par m, donc par H forment une extension interm\u00E9diaire de Q, not\u00E9e habituellement \u211A. Le polyn\u00F4me \u03A6 se factorise dans l'alg\u00E8bre \u211A[X] comme suit :\n\n\net dans \u211A[X], le polyn\u00F4me prend la forme :\n\n."@fr . . . . "En g\u00E9om\u00E9trie, le th\u00E9or\u00E8me de Gauss-Wantzel \u00E9nonce une condition n\u00E9cessaire et suffisante pour qu'un polygone r\u00E9gulier soit constructible \u00E0 la r\u00E8gle et au compas."@fr . . . . . . . . . . . "181517268"^^ . . "Choisir m tel que m = z n'est pas la solution car m est d'ordre 8. Il est donc plus judicieux de choisir m tel que m = z\nm et m restreints aux racines sont donc deux permutations d\u00E9crites par\u00A0:\n\n\n\n\n\nAlors u est la somme des racines de puissance : 1, 9, 13, 15, 16, 8, 4, 2 et u les autres. Leur somme est \u00E9gale \u00E0 la somme des racines donc \u20131 et leur produit \u00E0 quatre fois la somme des racines donc \u20134.\nOn obtient\u00A0:\n\n\nPour appliquer cette m\u00EAme logique une deuxi\u00E8me fois, d\u00E9terminons m\u00A0:\n\nNotons alors v la somme des racines d'exposant 1, 13, 16, 4, v la somme des racines d'exposant 2, 9, 15, 8, v la somme des racines d'exposant 3, 5, 14, 12 et v la somme des racines d'exposant 10, 11, 7, 6.\n\n\nLe calcul effectif donne\u00A0:\n\n\nL'\u00E9tape suivante ne demande pas la d\u00E9termination de m car il est \u00E9tabli que cette application est le conjugu\u00E9, \u00E0 une racine d'exposant i elle associe donc la racine d'exposant 17 - i. On choisit alors w comme la somme des racines d'exposant 1 et 16 et w comme la somme des racines d'exposant 13 et 4. On obtient\u00A0:\n\n\n\nLe calcul de w suffit pour obtenir la racine primitive. On sait par construction que ce coefficient est \u00E9gal \u00E0 la somme de la premi\u00E8re racine primitive et de son conjugu\u00E9. On en d\u00E9duit alors que\n\nLa construction \u00E0 la r\u00E8gle et au compas est moins douloureuse qu'il n'y para\u00EEt, u a pour radical une longueur \u00E9gal \u00E0 l'hypot\u00E9nuse d'un triangle de c\u00F4t\u00E9 5/4. u a pour radical l'hypot\u00E9nuse d'un triangle de c\u00F4t\u00E9 2 et u. Seule l'\u00E9tape suivante est un peu p\u00E9nible.\nUn d\u00E9veloppement brutal laisserait en effet \u00E0 penser \u00E0 une construction plus d\u00E9licate. Il donne."@fr . . . . . . . "15822"^^ . . . . . "Th\u00E9or\u00E8me de Gauss-Wantzel"@fr . . . . . . . . . "\u0422\u0435\u043E\u0440\u0435\u043C\u0430 \u0413\u0430\u0443\u0441\u0441\u0430 \u2014 \u0412\u0430\u043D\u0446\u0435\u043B\u044F"@uk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . "235725"^^ . . . . . . . . . "Teorema de Gauss-Wantzel"@es . .