. "2213"^^ . "\u0420\u0430\u0434\u0438\u043A\u0430\u043B \u0414\u0436\u0435\u043A\u043E\u0431\u0441\u043E\u043D\u0430"@ru . . . . "191373768"^^ . . . . . . . . . . . . . . . . . "En alg\u00E8bre, le radical de Jacobson d'un anneau commutatif est l'intersection de ses id\u00E9aux maximaux. Cette notion est due \u00E0 Nathan Jacobson qui le premier en a fait l'\u00E9tude syst\u00E9matique.Un \u00E9l\u00E9ment x appartient au radical de Jacobson de l'anneau A si et seulement si 1 + ax est inversible pour tout a de A. D\u00E9monstration Notons J le radical de Jacobson de l'anneau commutatif A et exploitons le fait que (d'apr\u00E8s le th\u00E9or\u00E8me de Krull) 1 + ax est non inversible si et seulement s'il appartient \u00E0 un id\u00E9al maximal. \n* Si x n'appartient pas \u00E0 J, soit M un id\u00E9al maximal ne contenant pas x. Alors M + Ax = A donc il existe m dans M et a dans A tels que 1 = m \u2013 ax, et 1 + ax n'est pas inversible. \n* R\u00E9ciproquement, si, pour un certain a dans A, 1 + ax appartient \u00E0 un id\u00E9al maximal M, alors M ne contient pas x, donc x n'appartient pas \u00E0 J. Dans le cas non commutatif, on d\u00E9finit le radical de Jacobson comme \u00E9tant l'intersection de tous les id\u00E9aux maximaux \u00E0 gauche et l'on a encore : x appartient au radical si et seulement si tous les 1 + ax sont inversibles \u00E0 gauche. C'est un id\u00E9al bilat\u00E8re et on aurait pu d\u00E9finir de mani\u00E8re \u00E9quivalente le radical de Jacobson comme l'intersection de tous les id\u00E9aux maximaux \u00E0 droite."@fr . . . "\u30B8\u30E3\u30B3\u30D6\u30BD\u30F3\u6839\u57FA"@ja . . . . . . . "2479159"^^ . "En alg\u00E8bre, le radical de Jacobson d'un anneau commutatif est l'intersection de ses id\u00E9aux maximaux. Cette notion est due \u00E0 Nathan Jacobson qui le premier en a fait l'\u00E9tude syst\u00E9matique.Un \u00E9l\u00E9ment x appartient au radical de Jacobson de l'anneau A si et seulement si 1 + ax est inversible pour tout a de A. D\u00E9monstration Notons J le radical de Jacobson de l'anneau commutatif A et exploitons le fait que (d'apr\u00E8s le th\u00E9or\u00E8me de Krull) 1 + ax est non inversible si et seulement s'il appartient \u00E0 un id\u00E9al maximal."@fr . "Jacobson-Radikal"@de . . . . . "Radical de Jacobson"@es . . . "Radicale di Jacobson"@it . . . . "Radical de Jacobson"@fr . . . . .