. . . "L'homologie de Morse est une approche homologique de la th\u00E9orie de Morse. Elle permet de comprendre l'homologie d'une vari\u00E9t\u00E9 diff\u00E9rentielle compacte par la donn\u00E9e d'une fonction de Morse et d'une m\u00E9trique riemannienne (avec des conditions de compatibilit\u00E9). R\u00E9ciproquement, l'homologie de Morse permet de comprendre combinatoirement la dynamique d'un flot de gradient g\u00E9n\u00E9rique d'une fonction de Morse donn\u00E9e sur une vari\u00E9t\u00E9 compacte \u00E0 partir de l'homologie de la vari\u00E9t\u00E9. Cette approche homologique conduit \u00E0 l'\u00E9criture des in\u00E9galit\u00E9s de Morse. Fixons une fonction de Morse sur une vari\u00E9t\u00E9 diff\u00E9rentielle compacte , munie d'une m\u00E9trique riemannienne . En pratique, le choix de la m\u00E9trique riemannienne a une importance secondaire : l'espace des m\u00E9triques riemanniennes est un c\u00F4ne convexe de l'espace des sections du fibr\u00E9 vectoriel , et des variations globales sur peuvent \u00EAtre effectu\u00E9es. L'homologie de Morse consiste \u00E0 d\u00E9finir un complexe de cha\u00EEnes ou de cocha\u00EEnes suivant les auteurs, soit donc : \n* Un -module gradu\u00E9 ou , dont la d\u00E9finition est ind\u00E9pendante de ; \n* Une application -lin\u00E9aire ou , de carr\u00E9 nul, et de degr\u00E9 -1 ou +1. Plus explicitement, ou est le -module libre de base l'ensemble des points critiques de la fonction ; la graduation d\u00E9pend d'une convention. L'op\u00E9rateur de bord ou de cobord se d\u00E9finit en comptant les orbites du flot de plus ou moins le gradient de connectant des points critiques pr\u00E9sentant une diff\u00E9rence d'indices de 1. La finitude du nombre de telles orbites est assur\u00E9e par une condition g\u00E9n\u00E9rique portant sur ou sur . L'introduction de signes est n\u00E9cessaire pour assurer que le carr\u00E9 de soit nul. Les groupes d'homologie ou de cohomologie du complexe de cha\u00EEnes ou de cocha\u00EEnes ainsi d\u00E9finis sont ind\u00E9pendants du choix de la m\u00E9trique : ils sont not\u00E9s ou . Ils sont naturellement isomorphes aux groupes d'homologie ou de cohomologie de la vari\u00E9t\u00E9 \u00E0 coefficients dans ."@fr . "Homologie de Morse"@fr . . . . . . . . . . . . "Morse homology"@en . . . . . "155154941"^^ . . . . . . . . . . . . . . . "7978"^^ . . . . . "L'homologie de Morse est une approche homologique de la th\u00E9orie de Morse. Elle permet de comprendre l'homologie d'une vari\u00E9t\u00E9 diff\u00E9rentielle compacte par la donn\u00E9e d'une fonction de Morse et d'une m\u00E9trique riemannienne (avec des conditions de compatibilit\u00E9). R\u00E9ciproquement, l'homologie de Morse permet de comprendre combinatoirement la dynamique d'un flot de gradient g\u00E9n\u00E9rique d'une fonction de Morse donn\u00E9e sur une vari\u00E9t\u00E9 compacte \u00E0 partir de l'homologie de la vari\u00E9t\u00E9. Cette approche homologique conduit \u00E0 l'\u00E9criture des in\u00E9galit\u00E9s de Morse."@fr . . "889144"^^ . .