. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . "Dans un triangle ABC, soit M un point du plan et U, V et W les projet\u00E9s orthogonaux de M sur les droites (BC), (AC) et (AB). Alors les deux propositions suivantes sont \u00E9quivalentes : \n* M est sur le cercle circonscrit au triangle ; \n* U, V et W sont align\u00E9s. Dans ce cas, la droite portant les points U, V et W s'appelle la droite de Simson (ou droite de Wallace, qui fut en fait le premier \u00E0 la d\u00E9couvrir en 1799) associ\u00E9e au point M. En particulier :"@fr . . . . . . . "\u041F\u0440\u044F\u043C\u0430\u044F \u0421\u0438\u043C\u0441\u043E\u043D\u0430"@ru . . . . . . . . . . . "1783026"^^ . . . . "D\u00E9monstration de l'existence de la droite de Simson"@fr . . . . . "\u062E\u0637 \u0633\u064A\u0645\u0633\u0648\u0646"@ar . . . . "On se contentera ici d'une preuve par analogie \u00E0 partir de la figure propos\u00E9e en illustration.\nthumb|alt=construction du cercle passant par MVUC|left| et sont suppl\u00E9mentaires\nPour montrer l'existence de la droite de Simson, il nous faut montrer que les points U, V et W sont align\u00E9s. Cela revient \u00E0 montrer que les angles et sont suppl\u00E9mentaires, c'est-\u00E0-dire que . Nous cherchons donc \u00E0 \u00E9valuer la somme suivante :\n\n \n\nOr et sont droits, donc M, V, U et C sont cocycliques et MVUC forme un quadrilat\u00E8re inscriptible.\n\nOn en d\u00E9duit que soit encore :\n\n \n\nthumb|alt=construction du cercle passant par MVAW| et sont \u00E9gaux\nDe m\u00EAme et sont droits, donc M, V, A et W sont cocycliques et MVAW forme un quadrilat\u00E8re inscriptible.\n\nOn en d\u00E9duit que :\n\n \n\nEn rempla\u00E7ant dans et par leur valeur donn\u00E9e dans et on obtient :\n\n \n\nOr, par hypoth\u00E8se A, B, C et M sont cocycliques et ABCM forme un quadrilat\u00E8re inscriptible. Nous avons donc :\n\n \n\nEn reportant dans on obtient :\n\n\nCQFD."@fr . . . . "\u041F\u0440\u044F\u043C\u0430 \u0421\u0456\u043C\u0441\u043E\u043D\u0430"@uk . . . . . . . . . . "172847270"^^ . . . . . . "Droite de Simson"@fr . "Dans un triangle ABC, soit M un point du plan et U, V et W les projet\u00E9s orthogonaux de M sur les droites (BC), (AC) et (AB). Alors les deux propositions suivantes sont \u00E9quivalentes : \n* M est sur le cercle circonscrit au triangle ; \n* U, V et W sont align\u00E9s. Dans ce cas, la droite portant les points U, V et W s'appelle la droite de Simson (ou droite de Wallace, qui fut en fait le premier \u00E0 la d\u00E9couvrir en 1799) associ\u00E9e au point M. En particulier : \n* la droite de Simson associ\u00E9e \u00E0 un sommet est la hauteur issue de ce sommet ; \n* la droite de Simson du point diam\u00E9tralement oppos\u00E9 \u00E0 un sommet sur le cercle circonscrit est le c\u00F4t\u00E9 oppos\u00E9 \u00E0 ce sommet."@fr . . . . . . . "Retta di Simson"@it . . "5613"^^ . . .