. . . . . . . . "Ideals, Varieties, and Algorithms"@fr . . . . "31188"^^ . . . . "universit\u00E9 de Rennes 1"@fr . . . . . . . . . . . . . . "En math\u00E9matique, un anneau noeth\u00E9rien est un cas particulier d'anneau, c'est-\u00E0-dire d'un ensemble muni d'une addition et d'une multiplication compatible avec l'addition, au sens de la distributivit\u00E9. De nombreuses questions math\u00E9matiques s'expriment dans un contexte d'anneau, les endomorphismes d'un espace vectoriel ou d'un module sur un anneau, les entiers alg\u00E9briques de la th\u00E9orie alg\u00E9brique des nombres, ou encore les surfaces de la g\u00E9om\u00E9trie alg\u00E9brique. Si les anneaux sont nombreux, rares sont ceux disposant des propri\u00E9t\u00E9s communes aux exemples les plus simples comme les entiers relatifs ou les polyn\u00F4mes \u00E0 coefficients dans un corps. La division euclidienne n'existe en g\u00E9n\u00E9ral plus, les id\u00E9aux, outils majeurs de la th\u00E9orie des anneaux, ne sont plus toujours principaux et le th\u00E9or\u00E8me fon"@fr . . "* Si A est int\u00E8gre, tout \u00E9l\u00E9ment non nul et non inversible est produit d'un nombre fini d'irr\u00E9ductibles :"@fr . . "Noetherian ring"@en . "978"^^ . . . . "Th\u00E9orie alg\u00E9brique des nombres, cours de ma\u00EEtrise de math\u00E9matiques"@fr . . . . . . . . . . . "D\u00E9monstrations"@fr . . . "Don O'Shea"@fr . . . . . . . . . . . . . "Pier\u015Bcie\u0144 noetherowski"@pl . . . . . "* Tout id\u00E9al de A contient un produit d'id\u00E9aux premiers, ou plus pr\u00E9cis\u00E9ment, tout id\u00E9al I de A contient un produit d'id\u00E9aux premiers qui contiennent I :"@fr . . . "163794"^^ . . "Anello noetheriano"@it . . . "Soit J un id\u00E9al quelconque de A[X] ; l'objectif est de montrer que J est de type fini, ce qui prouvera que A[X] est noeth\u00E9rien.\n\nSoit la suite d'id\u00E9aux de A d\u00E9finie par :\n\n\n\nCette suite est croissante donc constante \u00E0 partir d'un rang r . La r\u00E9union de tous les Dn est donc \u00E9gale \u00E0 Dr.\n\nPour chaque entier n, l'id\u00E9al Dn est de type fini donc poss\u00E8de une famille g\u00E9n\u00E9ratrice finie . Pour chacun de ces an,i, soit Pn,i un polyn\u00F4me de J de degr\u00E9 n et de coefficient dominant \u00E9gal \u00E0 an,i.\n\nMontrons que la famille finie , doublement index\u00E9e par n inf\u00E9rieur ou \u00E9gal \u00E0 r et par i dans In, engendre J. Cette assertion signifie que tout polyn\u00F4me Q de J s'exprime comme combinaison lin\u00E9aire \u00E0 coefficients dans A[X] de cette famille .\n\nSi Q est nul, c'est imm\u00E9diat. Sinon, on se ram\u00E8ne \u00E0 ce cas par r\u00E9currence sur le degr\u00E9 d de Q : supposons que la famille engendre tous les polyn\u00F4mes de J de degr\u00E9 strictement inf\u00E9rieur \u00E0 l'entier naturel d .\nSoient q le coefficient dominant de Q et s=min. Alors q appartient \u00E0 Dd=Ds. Il existe en cons\u00E9quence une famille d'\u00E9l\u00E9ments de A telle que\n\nL'hypoth\u00E8se de r\u00E9currence montre que Q est engendr\u00E9 par la famille , ce qui termine la d\u00E9monstration."@fr . . . . . . . . . . . . "On montre en fait un peu mieux : dans un anneau noeth\u00E9rien, tout id\u00E9al est intersection finie d'id\u00E9aux irr\u00E9ductibles, et tout id\u00E9al irr\u00E9ductible est primaire.\n** Pour le premier point, on raisonne par l'absurde comme pr\u00E9c\u00E9demment : soient F l'ensemble, suppos\u00E9 non vide, des id\u00E9aux de A qui ne sont pas intersection finie d'irr\u00E9ductibles, et I un \u00E9l\u00E9ment maximal de F. Alors I est r\u00E9ductible donc \u00E9gal \u00E0 l'intersection de deux id\u00E9aux J et K dans lesquels il est strictement inclus. Par maximalit\u00E9, J et K n'appartiennent pas \u00E0 F, donc chacun d'eux est intersection finie d'irr\u00E9ductibles, d'o\u00F9 la contradiction.\n** Pour le second point, Le d\u00E9fi alg\u00E9brique, tome 2, de Claude Mutafian, p. 239, ou , chapitre II, \u00A7 2, exercice 22, ou encore ."@fr . . . . . . . . . . . "En math\u00E9matique, un anneau noeth\u00E9rien est un cas particulier d'anneau, c'est-\u00E0-dire d'un ensemble muni d'une addition et d'une multiplication compatible avec l'addition, au sens de la distributivit\u00E9. De nombreuses questions math\u00E9matiques s'expriment dans un contexte d'anneau, les endomorphismes d'un espace vectoriel ou d'un module sur un anneau, les entiers alg\u00E9briques de la th\u00E9orie alg\u00E9brique des nombres, ou encore les surfaces de la g\u00E9om\u00E9trie alg\u00E9brique. Si les anneaux sont nombreux, rares sont ceux disposant des propri\u00E9t\u00E9s communes aux exemples les plus simples comme les entiers relatifs ou les polyn\u00F4mes \u00E0 coefficients dans un corps. La division euclidienne n'existe en g\u00E9n\u00E9ral plus, les id\u00E9aux, outils majeurs de la th\u00E9orie des anneaux, ne sont plus toujours principaux et le th\u00E9or\u00E8me fondamental de l'arithm\u00E9tique ne poss\u00E8de plus d'\u00E9quivalent. L'approche consistant \u00E0 \u00E9tudier une question uniquement sous l'angle des propri\u00E9t\u00E9s sp\u00E9cifiques d'une structure d'anneau particuli\u00E8re s'est r\u00E9v\u00E9l\u00E9e fructueuse. Richard Dedekind l'a utilis\u00E9e avec succ\u00E8s en arithm\u00E9tique et David Hilbert en g\u00E9om\u00E9trie alg\u00E9brique. En 1920-1921, Emmy Noether choisit un nombre plus limit\u00E9 de propri\u00E9t\u00E9s v\u00E9rifi\u00E9es par certains anneaux et d\u00E9montre de nombreux r\u00E9sultats sur ceux-ci. Le terme d'\u00AB anneau noeth\u00E9rien \u00BB apparait en 1943 sous la plume de Claude Chevalley."@fr . . . . "Laurent Moret-Bailly"@fr . . . . . . . "Anell noetheri\u00E0"@ca . . . "2007"^^ . "2004"^^ . "On sait qu'il existe des id\u00E9aux premiers dont le produit est inclus dans I. Un id\u00E9al premier quelconque Q de A contenant I contient en particulier le produit des . Une propri\u00E9t\u00E9 caract\u00E9ristique des id\u00E9aux premiers indique que l'id\u00E9al premier Q contient l'un des . Ainsi, les \u00E9l\u00E9ments minimaux parmi les id\u00E9aux sont les id\u00E9aux minimaux contenant I.\n* Tout id\u00E9al radiciel de A est intersection finie d'id\u00E9aux premiers :"@fr . . "On raisonne \u00E0 nouveau par l'absurde comme pr\u00E9c\u00E9demment, en consid\u00E9rant l'ensemble, suppos\u00E9 non vide, des id\u00E9aux principaux de A engendr\u00E9s par des \u00E9l\u00E9ments non nuls et non inversibles qui ne v\u00E9rifient pas la propri\u00E9t\u00E9 \u00E9nonc\u00E9e. Cet ensemble admettant un \u00E9l\u00E9ment maximal pour l'inclusion, on conclut ais\u00E9ment \u00E0 une contradiction en \u00E9tudiant cet \u00E9l\u00E9ment maximal."@fr . . . . . . . . . . . "Anillo noetheriano"@es . . . . . . . . "En raison de la correspondance biunivoque entre les id\u00E9aux premiers de l'anneau quotient A/I et ceux de l'anneau A contenant I, on d\u00E9duit le second point du premier appliqu\u00E9 \u00E0 l'id\u00E9al de l'anneau A/I."@fr . . . . . "Montrons la premi\u00E8re assertion, par l'absurde. Soit F l'ensemble, suppos\u00E9 non vide, des id\u00E9aux de A qui ne contiennent aucun produit d'id\u00E9aux premiers . Soit I un \u00E9l\u00E9ment maximal de F. L'id\u00E9al I est propre et non premier. D'apr\u00E8s une propri\u00E9t\u00E9 caract\u00E9ristique des id\u00E9aux non premiers, il existe donc deux id\u00E9aux J et K tels que I contienne le produit J.K mais soit strictement contenu dans J et K. Alors les id\u00E9aux J et K n'appartiennent pas \u00E0 F, donc chacun d'eux contient un produit d'id\u00E9aux premiers. Comme I contient leur produit, on aboutit \u00E0 une contradiction, ce qui termine la d\u00E9monstration du premier point."@fr . . . . . "Soit I un id\u00E9al radiciel de A. On sait qu'il existe des id\u00E9aux premiers tels que . Mais si alors , donc , d'o\u00F9 l'\u00E9galit\u00E9 .\n* Tout id\u00E9al est intersection finie d'id\u00E9aux primaires :"@fr . . . . . . "3"^^ . . "Une preuve plus compliqu\u00E9e, mais instructive, est d'utiliser la d\u00E9composition primaire , en remarquant que le radical de tout id\u00E9al primaire est premier, et que dans un anneau noeth\u00E9rien, tout id\u00E9al contient une puissance de son radical.\n* Existence et finitude des id\u00E9aux premiers minimaux contenant un id\u00E9al I :"@fr . . . "D\u00E9monstration du th\u00E9or\u00E8me de la base de Hilbert"@fr . . . . "John Little"@fr . . . "Noetherscher Ring"@de . "191378596"^^ . "en"@fr . . . "Anneau noeth\u00E9rien"@fr . . . . "\u041D\u0451\u0442\u0435\u0440\u043E\u0432\u043E \u043A\u043E\u043B\u044C\u0446\u043E"@ru . . . . . .