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"L'analyse harmonique non commutative est une branche des math\u00E9matiques qui est parvenue \u00E0 maturit\u00E9 vers la fin des ann\u00E9es 1970 ; elle g\u00E9n\u00E9ralise l'analyse harmonique classique et consiste, comme cette derni\u00E8re (qui remonte au XVIIIe si\u00E8cle), \u00E0 d\u00E9velopper une fonction en composantes fondamentales. Elle a des applications dans de nombreux domaines : les \u00E9quations aux d\u00E9riv\u00E9es partielles qui, avec leurs probl\u00E8mes aux bords, ont des groupes de sym\u00E9trie non commutatifs ; la M\u00E9canique quantique ; r\u00E9cemment, les sciences de l'ing\u00E9nieur (traitement d'images, robotique, chimie, th\u00E9orie des syst\u00E8mes dynamiques non lin\u00E9aires, etc.) ; la th\u00E9orie des nombres ( (en), (en)). L'analyse harmonique, \u00E0 ses d\u00E9buts, consid\u00E9rait des fonctions p\u00E9riodiques et en r\u00E9alisait la d\u00E9composition en s\u00E9rie de Fourier. Une fonction p\u00E9riodique (de p\u00E9riode 1, apr\u00E8s normalisation) peut \u00EAtre consid\u00E9r\u00E9e comme d\u00E9finie sur le tore , et la th\u00E9orie des groupes commutatifs localement compacts montre que l'\u00AB espace dual \u00BB du tore, sur lequel dont d\u00E9finis les coefficients de Fourier, est l'ensemble des entiers relatifs, qui est de nouveau un groupe ab\u00E9lien ; aussi les coefficients de Fourier d'une fonction p\u00E9riodique forment-ils une suite de nombres complexes. R\u00E9ciproquement, quand on r\u00E9alise la synth\u00E8se de Fourier, on passe par la \u00AB formule de Plancherel \u00BB des coefficients de Fourier, d\u00E9finis sur , \u00E0 la fonction p\u00E9riodique dont ils sont issus, d\u00E9finie sur qui est le \u00AB dual \u00BB de . Ceci est un cas particulier du th\u00E9or\u00E8me de dualit\u00E9 de Lev Pontryagin et Egbert van Kampen, qui montre que le \u00AB bidual \u00BB d'un groupe localement compact commutatif G s'identifie \u00E0 G. D'autre part, on peut associer \u00E0 une fonction d\u00E9finie sur la droite r\u00E9elle sa transform\u00E9e de Fourier, elle aussi d\u00E9finie sur , qui est son propre dual ; puis on peut faire l'op\u00E9ration inverse, par la formule de Plancherel. L'analyse harmonique consiste donc \u00E0 associer \u00E0 une fonction, d\u00E9finie sur un groupe topologique G (qu'on supposera \u00EAtre un groupe de Lie quand on voudra d\u00E9finir sur ce groupe, par exemple, la notion de d\u00E9riv\u00E9e), une autre fonction, d\u00E9finie sur l'\u00AB espace dual \u00BB de ce groupe. Celui-ci est d\u00E9fini comme \u00E9tant l'ensemble des classes d'\u00E9quivalence des repr\u00E9sentations unitaires irr\u00E9ductibles de G ; lorsque G est un groupe \u00AB apprivois\u00E9 \u00BB, par exemple un groupe de Lie semi-simple, cet espace est muni d'une \u00AB topologie naturelle \u00BB et d'une mesure \u00AB canonique \u00BB, la (en). Lorsque le groupe G est commutatif, ces repr\u00E9sentations irr\u00E9ductibles s'identifient aux caract\u00E8res de G ; est alors de nouveau un groupe commutatif localement compact, et la mesure de Plancherel est la mesure de Haar sur : ceci est li\u00E9 au fait que, dans ce cas, toutes les repr\u00E9sentations unitaires irr\u00E9ductibles de G sont de dimension (ou \u00AB degr\u00E9 \u00BB) 1. Sur un groupe non commutatif, ce n'est plus le cas, et d\u00E9j\u00E0 sur un groupe fini ou compact non commutatif, les \u00AB coefficients de Fourier \u00BB d'une fonction, qui constituent la \u00AB cotransform\u00E9e de Fourier \u00BB de cette fonction, sont des matrices. On peut encore d\u00E9finir les caract\u00E8res comme \u00E9tant les traces des repr\u00E9sentations irr\u00E9ductibles : dans le cas d'un groupe compact, ce sont des traces au sens usuel (traces de matrices) ; dans le cas d'un groupe non compact, ce sont des traces dans un sens g\u00E9n\u00E9ralis\u00E9 qui est fond\u00E9 \u00E0 la fois sur la notion d'op\u00E9rateur \u00E0 trace et sur celle de distribution (\u00AB caract\u00E8res de Harish-Chandra \u00BB). La \u00AB d\u00E9composition de Fourier \u00BB sur un groupe non commutatif non compact comporte une partie discr\u00E8te, analogue aux coefficients de Fourier d'une fonction p\u00E9riodique : c'est la \u00AB s\u00E9rie discr\u00E8te \u00BB ; et une partie continue, analogue \u00E0 la transform\u00E9e de Fourier d'une fonction sur la droite r\u00E9elle : c'est la \u00AB s\u00E9rie principale \u00BB. La partie purement formelle de l'analyse harmonique non commutative peut \u00EAtre pr\u00E9sent\u00E9e assez simplement, par g\u00E9n\u00E9ralisations successives, en partant des d\u00E9veloppements en s\u00E9rie de Fourier et de la transformation de Fourier sur la droite r\u00E9elle puis sur un groupe commutatif, en envisageant ensuite le cas d'un groupe compact, enfin en montrant comment le \u00AB formalisme de Peter-Weyl \u00BB peut s'\u00E9tendre au cas d'un groupe non compact. En revanche, d\u00E8s qu'on veut, comme l'a fait Harish-Chandra, d\u00E9passer le cadre purement formel et expliciter dans le cas g\u00E9n\u00E9ral la formule de Plancherel, qui permet de r\u00E9aliser la synth\u00E8se de Fourier \u00E0 partir des caract\u00E8res, l'analyse harmonique non commutative est \u00AB h\u00E9riss\u00E9e de difficult\u00E9s conceptuelles \u00BB et \u00AB n\u00E9cessite des moyens techniques consid\u00E9rables \u00BB, suivant les expressions de Jean Dieudonn\u00E9. Le groupe des matrices carr\u00E9es d'ordre 2 \u00E0 coefficients r\u00E9els et de d\u00E9terminant 1 est le groupe non compact semi-simple de la plus petite dimension possible ; tout en restant relativement simple, il a une structure suffisamment riche pour donner un bon aper\u00E7u des points fondamentaux de la th\u00E9orie g\u00E9n\u00E9rale."@fr . "Kirillov"@fr . "Distributions sur un groupe localement compact et applications \u00E0 l'\u00E9tude des repr\u00E9sentations des groupes p-adiques"@fr . "Noncommutative harmonic analysis"@en . "19"^^ . "241"^^ . . . "George D."@fr . . . . . "Veeravalli S."@fr . "5"^^ . "2"^^ . "3"^^ . "1"^^ . "Wilfried"@fr . . "Providence"@fr . . "Elements of the theory of representations"@fr . "235"^^ . "Plancherel measure"@fr . "Segal"@fr . . . "Michael"@fr . "Non-abelian class field theory"@fr . "N."@fr . "529"^^ . . "1940"^^ . "Leon Ehrenpreis"@fr . . "1939"^^ . . "1950"^^ . . . . . 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