This HTML5 document contains 84 embedded RDF statements represented using HTML+Microdata notation.

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Statements

Subject Item
dbpedia-fr:Droite_de_Simson
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Прямая Симсона خط سيمسون Пряма Сімсона Droite de Simson Retta di Simson
rdfs:comment
Dans un triangle ABC, soit M un point du plan et U, V et W les projetés orthogonaux de M sur les droites (BC), (AC) et (AB). Alors les deux propositions suivantes sont équivalentes : * M est sur le cercle circonscrit au triangle ; * U, V et W sont alignés. Dans ce cas, la droite portant les points U, V et W s'appelle la droite de Simson (ou droite de Wallace, qui fut en fait le premier à la découvrir en 1799) associée au point M. En particulier :
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On se contentera ici d'une preuve par analogie à partir de la figure proposée en illustration. thumb|alt=construction du cercle passant par MVUC|left| et sont supplémentaires Pour montrer l'existence de la droite de Simson, il nous faut montrer que les points U, V et W sont alignés. Cela revient à montrer que les angles et sont supplémentaires, c'est-à-dire que . Nous cherchons donc à évaluer la somme suivante : Or et sont droits, donc M, V, U et C sont cocycliques et MVUC forme un quadrilatère inscriptible. On en déduit que soit encore : thumb|alt=construction du cercle passant par MVAW| et sont égaux De même et sont droits, donc M, V, A et W sont cocycliques et MVAW forme un quadrilatère inscriptible. On en déduit que : En remplaçant dans et par leur valeur donnée dans et on obtient : Or, par hypothèse A, B, C et M sont cocycliques et ABCM forme un quadrilatère inscriptible. Nous avons donc : En reportant dans on obtient : CQFD.
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Démonstration de l'existence de la droite de Simson
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wikipedia-fr:Droite_de_Simson
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Dans un triangle ABC, soit M un point du plan et U, V et W les projetés orthogonaux de M sur les droites (BC), (AC) et (AB). Alors les deux propositions suivantes sont équivalentes : * M est sur le cercle circonscrit au triangle ; * U, V et W sont alignés. Dans ce cas, la droite portant les points U, V et W s'appelle la droite de Simson (ou droite de Wallace, qui fut en fait le premier à la découvrir en 1799) associée au point M. En particulier : * la droite de Simson associée à un sommet est la hauteur issue de ce sommet ; * la droite de Simson du point diamétralement opposé à un sommet sur le cercle circonscrit est le côté opposé à ce sommet.