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En géométrie euclidienne, la formule de Héron, du nom de Héron d'Alexandrie, permet de calculer l'aire S d'un triangle quelconque en ne connaissant que les longueurs a, b et c de ses trois côtés :
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L'aire du triangle dépend de la longueur des 3 côtés : , et ces trois variables ont exactement la même importance . Si on suppose comme acquis que le carré de l'aire est un polynôme en , ce polynôme est symétrique. Par analyse dimensionnelle, on sait que ce polynôme est de degré 4 car c'est le carré d'une aire, et que le polynôme est homogène. De plus l'aire s'annule seulement quand le triangle est plat, c'est à dire quand la somme des longueurs de deux des côtés égale la longueur du troisième. Il y a donc trois façons d'annuler le polynôme. Le polynôme est alors de la forme : Or comme est symétrique homogène de degré 4, est un polynôme symétrique et homogène de degré 1 de la forme avec une constante réelle à déterminer. Pour trouver , on regarde un cas particulier qui est celui du triangle rectangle isocèle. On a alors , et , ce qui donne : donc . On a donc . On retrouve alors la formule démontrée par trigonométrie plus haut en remplaçant par . La loi des cosinus s'écrit jointe à la formule classique de l'aire du triangle donnée par cet angle et les côtés adjacents : Puis, en notant, le demi-périmètre, on conclut :
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