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보렐 집합 Borel set Борелевская сигма-алгебра ボレル集合 Álgebra de Borel Álgebra de Borel Borelsche σ-Algebra Àlgebra de Borel Borelovská množina Tribu borélienne Zbiór borelowski Borelstam Algebra di Borel
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Zbiór borelowski – podzbiór przestrzeni topologicznej, który można uzyskać za pomocą przeliczalnych sum i przekrojów zbiorów domkniętych (bądź zwartych) tej przestrzeni. Klasa zbiorów uzyskanych za pomocą tych operacji tworzy σ-ciało nazywane σ-ciałem zbiorów borelowskich lub σ-ciałem borelowskim danej przestrzeni topologicznej. Borelovská množina v matematice je libovolná množina v topologickém prostoru, kterou lze získat z otevřených množin pomocí operací spočetného sjednocení, spočetného průniku a relativního doplňku (nebo ekvivalentně z uzavřených množin). Název mají po francouzském matematikovi Émile Borelovi.Pro libovolný topologický prostor X vytváří kolekce všech borelovských množin na X σ-algebru známou jako borelovská algebra nebo borelovská σ-algebra. L'àlgebra de Borel (o, per ser més precisos, la σ-àlgebra de Borel) d'un espai topològic T és la més petita de les σ-àlgebres en T que contenen tots els oberts de T. Els elements de la σ-àlgebra de Borel s'anomenen borelians. In matematica l'algebra di Borel, o più propriamente la σ-algebra di Borel, è la più piccola σ-algebra su di un insieme dotato di struttura topologica che sia compatibile con la topologia stessa, ovvero che contenga tutti gli aperti della topologia. Die borelsche σ-Algebra ist ein Begriff aus der Mathematik, der ein Scharnier zwischen den Zweigen Topologie und Maßtheorie bildet. Jedem topologischen Raum lässt sich in eindeutiger Weise eine σ-Algebra zuordnen, die man die zugehörige borelsche σ-Algebra nennt. Der Begriff ist nach dem Mathematiker Émile Borel benannt. De Borelstam is een wiskundige structuur die aangeeft in welke mate de open verzamelingen van een topologische ruimte een meetbaar onderscheid maken tussen de punten van die ruimte. Hij is genoemd naar Émile Borel. Aanvankelijk werd de Borelstam op de verzameling der reële getallen (met de gebruikelijke topologie) bestudeerd als uitgangspunt voor de maattheorie. 측도론에서, 보렐 집합(Borel集合, 영어: Borel set)은 열린 집합들로부터 가산번의 합집합, 가산번의 교집합, 차집합 연산을 통해 만들 수 있는 집합을 가리킨다. La tribu borélienne sur un (ou d’un) espace topologique X est la plus petite σ-algèbre sur X contenant tous les ensembles ouverts. Les éléments de la tribu borélienne sont appelés des boréliens.Le concept doit son nom à Émile Borel, qui a publié en 1898 une première exposition de la tribu borélienne de la droite réelle.↑ Jean-Paul Pier, Histoire de l'intégration. Vingt-cinq siècles de mathématiques, Masson,‎ 1996 (ISBN 222585324X), p. 数学におけるボレル集合(ボレルしゅうごう、英: Borel set)は、位相空間の開集合系(あるいは閉集合系)から可算回の合併、交叉、差を取ることによって得られる集合の総称である。名称はエミール・ボレルに由来する。位相空間 X に対し、X 上のボレル集合全体の成す族(ボレル集合族)は完全加法族(σ-集合体)を成し、ボレル集合体 (Borel algebra) あるいはボレル完全加法族 (Borel σ-algebra) と呼ばれる。X 上のボレル集合体は、全ての開集合を含む最小の完全加法族である(全ての閉集合を含む最小の完全加法族でもある)。ボレル集合は測度論において重要である。これは空間内の任意の開集合(あるいは閉集合)上で定義された測度が、任意のボレル集合上で定義された測度を定めることによる。任意のボレル集合に対して定義される測度はボレル測度と呼ばれる。ボレル集合およびそれに付随するボレル階層は、記述集合論においても基本的な役割を果たす。文脈によっては、位相空間の(開集合ではなくて)コンパクト集合の生成するものとしてボレル集合を定めることもある。多くの素性の良い (well-behaved) 空間、例えば任意の σ-コンパクトハウスドルフ空間などでは、この定義は先の(開集合を用いた)定義と同値になるが、そうでない病的な空間では違ってくる。 En matemáticas, el álgebra de Borel (más correctamente, σ-álgebra de Borel, también llamada boreliana) sobre un espacio topológico X es una σ-álgebra de subconjuntos de X asociada a la topología de X. En la literatura matemática se pueden encontrar dos definiciones no equivalentes de ésta: La σ-álgebra generada por los conjuntos abiertos. Борелевская сигма-алгебра — это минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества топологического пространства (также она содержит и все замкнутые). Эти подмножества также называются Борелевыми.Если не оговорено иное, в качестве топологического пространства выступает множество вещественных чисел. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. In mathematics, a Borel set is any set in a topological space that can be formed from open sets (or, equivalently, from closed sets) through the operations of countable union, countable intersection, and relative complement. Borel sets are named after Émile Borel.For a topological space X, the collection of all Borel sets on X forms a σ-algebra, known as the Borel algebra or Borel σ-algebra.
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De Borelstam is een wiskundige structuur die aangeeft in welke mate de open verzamelingen van een topologische ruimte een meetbaar onderscheid maken tussen de punten van die ruimte. Hij is genoemd naar Émile Borel. Aanvankelijk werd de Borelstam op de verzameling der reële getallen (met de gebruikelijke topologie) bestudeerd als uitgangspunt voor de maattheorie. Borelovská množina v matematice je libovolná množina v topologickém prostoru, kterou lze získat z otevřených množin pomocí operací spočetného sjednocení, spočetného průniku a relativního doplňku (nebo ekvivalentně z uzavřených množin). Název mají po francouzském matematikovi Émile Borelovi.Pro libovolný topologický prostor X vytváří kolekce všech borelovských množin na X σ-algebru známou jako borelovská algebra nebo borelovská σ-algebra. Borelovská algebra na X je nejmenší σ-algebra, která obsahuje všechny otevřené množiny (nebo ekvivalentně všechny uzavřené množiny).Borelovské množiny jsou důležité v teorii míry, protože libovolná míra definovaná na otevřených množinách nějakého prostoru nebo na uzavřených množinách nějakého prostoru, musí být definovaná i na všech borelovských množinách tohoto prostoru. Jakákoli míra definovaná na borelovských množinách se nazývá borelovská míra. Borelovské množiny a s nimi související borelovská hierarchie také hraje stěžejní roli v deskriptivní teorii množin.V některých kontextech jsou borelovské množiny definovány jako množiny generované kompaktními množinami topologického prostoru, místo otevřenými množinami. Tyto dvě definice jsou ekvivalentní pro mnoho rozumných prostorů, včetně všech Hausdorffových σ-kompaktních prostorů, ale mohou se lišit v patologičtějších prostorech. In matematica l'algebra di Borel, o più propriamente la σ-algebra di Borel, è la più piccola σ-algebra su di un insieme dotato di struttura topologica che sia compatibile con la topologia stessa, ovvero che contenga tutti gli aperti della topologia. Lo spazio misurabile così definito prende il nome di spazio boreliano, gli insiemi contenuti nella σ-algebra di Borel sono detti insiemi boreliani o insiemi di Borel ed una misura definita su una σ-algebra di Borel è detta misura di Borel.La nozione di algebra di Borel è stata introdotta da Émile Borel nell'ambito dei numeri reali, ed in seguito generalizzata a spazi topologici arbitrari. En matemáticas, el álgebra de Borel (más correctamente, σ-álgebra de Borel, también llamada boreliana) sobre un espacio topológico X es una σ-álgebra de subconjuntos de X asociada a la topología de X. En la literatura matemática se pueden encontrar dos definiciones no equivalentes de ésta: La σ-álgebra generada por los conjuntos abiertos. La σ-álgebra generada por los conjuntos compactos.La σ-álgebra generada por una colección T de subconjuntos de X se define como la mínima σ-álgebra que contiene a T. La existencia y unicidad de una tal σ-álgebra se demuestra fácilmente notando que la intersección de todas las σ-álgebras que contienen a T es en sí misma una σ-álgebra que contiene a T.Los elementos del álgebra de Borel se llaman conjuntos de Borel o conjuntos borelianos.En espacios topológicos generales, o aun en los localmente compactos, las dos estructuras definidas arriba pueden ser diferentes, aunque este fenómeno se considera patológico en el análisis matemático. De hecho, las dos estructuras coinciden si el espacio en consideración es un espacio localmente compacto, separable y métrico. Zbiór borelowski – podzbiór przestrzeni topologicznej, który można uzyskać za pomocą przeliczalnych sum i przekrojów zbiorów domkniętych (bądź zwartych) tej przestrzeni. Klasa zbiorów uzyskanych za pomocą tych operacji tworzy σ-ciało nazywane σ-ciałem zbiorów borelowskich lub σ-ciałem borelowskim danej przestrzeni topologicznej. Nazwa została wprowadzona dla uhonorowania prac francuskiego matematyka Émile Borela, który pierwszy badał te zbiory i ich zastosowania.Intuicyjnie rodzina zbiorów borelowskich zawiera "bardzo porządne" podzbiory przestrzeni topologicznej: "najporządniejszymi" można nazwać zbiory otwarte, domknięte bądź zwarte. Za "porządne" można również uznać operacje sum i przekrojów: są one tak naturalne i często spotykane, że warto rozważać taką klasę podzbiorów zawierającą "najporządniejsze" zbiory, z której działania te nie wyprowadzają nawet przy przeliczalnej liczbie operandów (dobrym przykładem jest zbiór liczb wymiernych na prostej rzeczywistej uzyskany jako np. przeliczalna suma przeliczalnego iloczynu zbiorów otwartych). Taką właśnie klasą jest rodzina zbiorów borelowskich. In mathematics, a Borel set is any set in a topological space that can be formed from open sets (or, equivalently, from closed sets) through the operations of countable union, countable intersection, and relative complement. Borel sets are named after Émile Borel.For a topological space X, the collection of all Borel sets on X forms a σ-algebra, known as the Borel algebra or Borel σ-algebra. The Borel algebra on X is the smallest σ-algebra containing all open sets (or, equivalently, all closed sets).Borel sets are important in measure theory, since any measure defined on the open sets of a space, or on the closed sets of a space, must also be defined on all Borel sets of that space. Any measure defined on the Borel sets is called a Borel measure. Borel sets and the associated Borel hierarchy also play a fundamental role in descriptive set theory.In some contexts, Borel sets are defined to be generated by the compact sets of the topological space, rather than the open sets. The two definitions are equivalent for many well-behaved spaces, including all Hausdorff σ-compact spaces, but can be different in more pathological spaces. Борелевская сигма-алгебра — это минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества топологического пространства (также она содержит и все замкнутые). Эти подмножества также называются Борелевыми.Если не оговорено иное, в качестве топологического пространства выступает множество вещественных чисел. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения. Названа в честь Эмиля Бореля. Die borelsche σ-Algebra ist ein Begriff aus der Mathematik, der ein Scharnier zwischen den Zweigen Topologie und Maßtheorie bildet. Jedem topologischen Raum lässt sich in eindeutiger Weise eine σ-Algebra zuordnen, die man die zugehörige borelsche σ-Algebra nennt. Der Begriff ist nach dem Mathematiker Émile Borel benannt. 측도론에서, 보렐 집합(Borel集合, 영어: Borel set)은 열린 집합들로부터 가산번의 합집합, 가산번의 교집합, 차집합 연산을 통해 만들 수 있는 집합을 가리킨다. La tribu borélienne sur un (ou d’un) espace topologique X est la plus petite σ-algèbre sur X contenant tous les ensembles ouverts. Les éléments de la tribu borélienne sont appelés des boréliens.Le concept doit son nom à Émile Borel, qui a publié en 1898 une première exposition de la tribu borélienne de la droite réelle. 数学におけるボレル集合(ボレルしゅうごう、英: Borel set)は、位相空間の開集合系(あるいは閉集合系)から可算回の合併、交叉、差を取ることによって得られる集合の総称である。名称はエミール・ボレルに由来する。位相空間 X に対し、X 上のボレル集合全体の成す族(ボレル集合族)は完全加法族(σ-集合体)を成し、ボレル集合体 (Borel algebra) あるいはボレル完全加法族 (Borel σ-algebra) と呼ばれる。X 上のボレル集合体は、全ての開集合を含む最小の完全加法族である(全ての閉集合を含む最小の完全加法族でもある)。ボレル集合は測度論において重要である。これは空間内の任意の開集合(あるいは閉集合)上で定義された測度が、任意のボレル集合上で定義された測度を定めることによる。任意のボレル集合に対して定義される測度はボレル測度と呼ばれる。ボレル集合およびそれに付随するボレル階層は、記述集合論においても基本的な役割を果たす。文脈によっては、位相空間の(開集合ではなくて)コンパクト集合の生成するものとしてボレル集合を定めることもある。多くの素性の良い (well-behaved) 空間、例えば任意の σ-コンパクトハウスドルフ空間などでは、この定義は先の(開集合を用いた)定義と同値になるが、そうでない病的な空間では違ってくる。 L'àlgebra de Borel (o, per ser més precisos, la σ-àlgebra de Borel) d'un espai topològic T és la més petita de les σ-àlgebres en T que contenen tots els oberts de T. Els elements de la σ-àlgebra de Borel s'anomenen borelians. L'existència i unicitat de la σ-àlgebra mínima es demostra amb la intersecció de totes les σ-àlgebres que contenen T, notant que el resultat de la intersecció és també una σ-àlgebra que conté T.De manera equivalent, es pot definir la σ-àlgebra de Borel com la menor de les σ-àlgebres que contenen tots els subconjunts tancats de T. Un subconjunt A de T és un borelià si és possible obtenir A a partir d'una successió numerable d'operacions d'unió, d'intersecció i de complementació de conjunts oberts.Un exemple particularment important és la σ-àlgebra de Borel dels nombres reals, definida com la més petita de les σ-àlgebres en R que conté tots els intervals. Aquesta σ-àlgebra serveix per definir la mesura de Borel, així com tots els axiomes de probabilitat. Donada una variable real aleatòria X definida en un espai de probabilitat, es defineix la distribució de probabilitat com a una mesura en l'àlgebra de Borel dels reals.
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