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Ordnung (algebraische Zahlentheorie) Ordre (théorie des anneaux) Ordine (teoria degli anelli) Order (ring theory)
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In der algebraischen Zahlentheorie ist eine Ordnung des Zahlkörpers K ein Unterring von K, der (via Multiplikation) als Endomorphismenring auf bestimmten Untergruppen von K, den Gittern operiert, zugleich ist die Ordnung selbst ein spezielles Gitter. Die Begriffe Ordnung und Gitter spielen eine Rolle bei der Untersuchung von Teilbarkeitsfragen in Zahlkörpern und bei der Verallgemeinerung des Fundamentalsatzes der Arithmetik auf Zahlkörper. En mathématiques, un ordre au sens de la théorie des anneaux est un sous-anneau O d'un anneau A tel quel'anneau A est une algèbre de dimension finie sur le corps ℚ des nombres rationnels,O engendre A sur ℚ, si bien que ℚO = A etO est un ℤ-réseau (en) dans A (c'est-à-dire un ℤ-sous-module de type fini sans torsion).Les deux dernières conditions signifient qu'additivement, O est un groupe abélien libre engendré par une base du ℚ-espace vectoriel A.Plus généralement, si A est une algèbre sur un corps K et R un anneau inclus dans K, un R-ordre de A est un sous-anneau de A qui est un R-réseau plein (c'est-à-dire qui vérifie les conditions 2 et 3 avec ℤ et ℚ remplacés respectivement par R et K).↑ (en) Irving Reiner, Maximal Orders, OUP,‎ 2003 (ISBN 978-0-12586650-7), p. In mathematics, an order in the sense of ring theory is a subring of a ring , such thatA is a ring which is a finite-dimensional algebra over the rational number field spans A over , so that , andis a Z-lattice in A.The last two conditions condition can be stated in less formal terms: Additively, is a free abelian group generated by a basis for A over .More generally for R an integral domain contained in a field K we define to be an R-order in a K-algebra A if it is a subring of A which is a full R-lattice.When A is not a commutative ring, the idea of order is still important, but the phenomena are different.
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En mathématiques, un ordre au sens de la théorie des anneaux est un sous-anneau O d'un anneau A tel quel'anneau A est une algèbre de dimension finie sur le corps ℚ des nombres rationnels,O engendre A sur ℚ, si bien que ℚO = A etO est un ℤ-réseau (en) dans A (c'est-à-dire un ℤ-sous-module de type fini sans torsion).Les deux dernières conditions signifient qu'additivement, O est un groupe abélien libre engendré par une base du ℚ-espace vectoriel A.Plus généralement, si A est une algèbre sur un corps K et R un anneau inclus dans K, un R-ordre de A est un sous-anneau de A qui est un R-réseau plein (c'est-à-dire qui vérifie les conditions 2 et 3 avec ℤ et ℚ remplacés respectivement par R et K). In mathematics, an order in the sense of ring theory is a subring of a ring , such thatA is a ring which is a finite-dimensional algebra over the rational number field spans A over , so that , andis a Z-lattice in A.The last two conditions condition can be stated in less formal terms: Additively, is a free abelian group generated by a basis for A over .More generally for R an integral domain contained in a field K we define to be an R-order in a K-algebra A if it is a subring of A which is a full R-lattice.When A is not a commutative ring, the idea of order is still important, but the phenomena are different. For example, the Hurwitz quaternions form a maximal order in the quaternions with rational co-ordinates; they are not the quaternions with integer coordinates in the most obvious sense. Maximal orders exist in general, but need not be maximum orders: there is in general no largest order, but a number of maximal orders. An important class of examples is that of integral group rings.Examples: If A is the matrix ring Mn(K) over K then the matrix ring Mn(R) over R is an R-order in A If R is an integral domain and L a finite separable extension of K, then the integral closure S of R in L is an R-order in L. If a in A is an integral element over R then the polynomial ring R[a] is an R-order in the algebra K[a] If A is the group ring K[G] of a finite group G then R[G] is an R-order on K[G]A fundamental property of R-orders is that every element of an R-order is integral over R.If the integral closure S of R in A is an R-order then this result shows that S must be the maximal R-order in A. However this is not always the case: indeed S need not even be a ring, and even if S is a ring (for example, when A is commutative) then S need not be an R-lattice. In der algebraischen Zahlentheorie ist eine Ordnung des Zahlkörpers K ein Unterring von K, der (via Multiplikation) als Endomorphismenring auf bestimmten Untergruppen von K, den Gittern operiert, zugleich ist die Ordnung selbst ein spezielles Gitter. Die Begriffe Ordnung und Gitter spielen eine Rolle bei der Untersuchung von Teilbarkeitsfragen in Zahlkörpern und bei der Verallgemeinerung des Fundamentalsatzes der Arithmetik auf Zahlkörper. Diese Ideen und Begriffsbildungen gehen auf Richard Dedekind zurück. Die spezielleren Definitionen im ersten Teil des Artikels richten sich nach Leutbecher (1996). Danach wird eine Verallgemeinerung des Begriffes Ordnung nach Silverman (1986) beschrieben. Zur Unterscheidung von allgemeineren und abweichendenden Begriffen werden die spezielleren Begriffe auch als Dedekind-Gitter und Dedekind-Ordnung bezeichnet.
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