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Un gruppo di torsione o gruppo periodico è un gruppo in cui ogni elemento ha ordine finito. Tutti i gruppi finiti sono di torsione. Il concetto di gruppo di torsione non va confuso con quello di gruppo ciclico: (Z,+) è ciclico senza essere di torsione.L'esponente di un gruppo di torsione G è definito come il minimo comune multiplo, se esiste, degli ordini di tutti gli elementi di G. In group theory, a periodic group or a torsion group is a group in which each element has finite order. All finite groups are periodic. The concept of a periodic group should not be confused with that of a cyclic group, although all finite cyclic groups are periodic.The exponent of a periodic group G is the least common multiple, if it exists, of the orders of the elements of G. Torzní grupa neboli periodická grupa je v teorii grup taková grupa, jejíž každý prvek má konečný řád. Torzní jsou například všechny konečné grupy.Termínem exponent grupy G rozumíme v takovém případě nejmenší společný násobek (existuje-li) řádů všech prvků z G. Každá konečná grupa má exponent a platí, že tento exponent dělí řád této grupy.S pojmem torzní grupy souvisí Burnsideův problém. In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een periodieke groep of torsiegroep een groep, waarin elk element een eindige orde heeft. Alle eindige groepen zijn periodiek. Het concept van een periodieke groep moet niet worden verward met dat van een cyclische groep, dit hoewel alle eindige cyclische groepen ook periodiek zijn. De exponent van een periodieke groep G is het kleinste gemene veelvoud, indien aanwezig, van de orden van de elementen van G. En algèbre générale, l'exposant d'un groupe est une notion de théorie des groupes.On peut l'utiliser pour démontrer le théorème de Kronecker sur la structure des groupes abéliens finis.Elle correspond à une hypothèse du problème de Burnside de 1902, on la trouve donc dans le théorème de Burnside associé.
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Un gruppo di torsione o gruppo periodico è un gruppo in cui ogni elemento ha ordine finito. Tutti i gruppi finiti sono di torsione. Il concetto di gruppo di torsione non va confuso con quello di gruppo ciclico: (Z,+) è ciclico senza essere di torsione.L'esponente di un gruppo di torsione G è definito come il minimo comune multiplo, se esiste, degli ordini di tutti gli elementi di G. Ogni gruppo finito ha un esponente, che è inoltre un divisore di |G|.Il problema limitato di Burnside è un classico problema sulla relazione tra i gruppi di torsione e i gruppi finiti, quando si assume che G sia finitamente generato: ci si chiede se un esponente finito implichi la finitezza del gruppo (in generale, la risposta a questa domanda è negativa).Esempi di gruppi di torsione infiniti sono il gruppo additivo dell'anello dei polinomi su un campo finito, o il gruppo quoziente dei razionali sugli interi, o la loro somma diretta, nota come gruppo di Prüfer. Nessuno di questi gruppo è però generato da un insieme infinito; esempi espliciti di gruppi di torsione infiniti e finitamente generati furono costruiti per la prima volta nel 1964 da Golod e Šafarevič. In group theory, a periodic group or a torsion group is a group in which each element has finite order. All finite groups are periodic. The concept of a periodic group should not be confused with that of a cyclic group, although all finite cyclic groups are periodic.The exponent of a periodic group G is the least common multiple, if it exists, of the orders of the elements of G. Any finite group has an exponent: it is a divisor of |G|.Burnside's problem is a classical question, which deals with the relationship between periodic groups and finite groups, if we assume only that G is a finitely-generated group. The question is whether specifying an exponent forces finiteness (to which the answer is 'no', in general).Examples of infinite periodic groups include the additive group of the ring of polynomials over a finite field, and the quotient group of the rationals by the integers, as well as their direct summands, the Prüfer groups. Another example is the union of all dihedral groups. None of these examples has a finite generating set, and any periodic linear group with a finite generating set is finite. Explicit examples of finitely generated infinite periodic groups were constructed by Golod, based on joint work with Shafarevich, and by Aleshin and Grigorchuk using automata. En algèbre générale, l'exposant d'un groupe est une notion de théorie des groupes.On peut l'utiliser pour démontrer le théorème de Kronecker sur la structure des groupes abéliens finis.Elle correspond à une hypothèse du problème de Burnside de 1902, on la trouve donc dans le théorème de Burnside associé. Torzní grupa neboli periodická grupa je v teorii grup taková grupa, jejíž každý prvek má konečný řád. Torzní jsou například všechny konečné grupy.Termínem exponent grupy G rozumíme v takovém případě nejmenší společný násobek (existuje-li) řádů všech prvků z G. Každá konečná grupa má exponent a platí, že tento exponent dělí řád této grupy.S pojmem torzní grupy souvisí Burnsideův problém. In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een periodieke groep of torsiegroep een groep, waarin elk element een eindige orde heeft. Alle eindige groepen zijn periodiek. Het concept van een periodieke groep moet niet worden verward met dat van een cyclische groep, dit hoewel alle eindige cyclische groepen ook periodiek zijn. De exponent van een periodieke groep G is het kleinste gemene veelvoud, indien aanwezig, van de orden van de elementen van G. Elke eindige groep heeft een exponent: het is een deler van |G|. Het probleem van Burnside is een klassiek probleem, dat zich bezighoudt met de relatie tussen de periodieke groepen en eindige groepen, dit onder de aanname dat alleen G een eindig-gegenereerde groep is. De vraag is of het specificeren van een exponent eindigheid afdwingt. Het antwoord op deze vraag is in het algemeen 'nee'. Oneindige voorbeelden van periodieke groepen zijn onder andere de additieve groep van de veeltermring over een eindig lichaam, en de quotiëntgroep van de rationale getallen door de gehele getallen, evenals hun directe summanda, de Prüfer-groepen. Geen van deze voorbeelden heeft een eindige genererende verzameling. Expliciete voorbeelden van eindig gegenereerde oneindige periodieke groepen werden geconstrueerd door Golod, gebaseerd op de gezamenlijke werk met Shafarevich, en door Aleshin en Grigorchuk die gebruik maakten van automata.
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