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Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren Ortogonalizacja Grama-Schmidta Gram-Schmidtmethode Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt Gram–Schmidt-eljárás Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt 그람-슈미트 과정 グラム・シュミットの正規直交化法 Processo de Gram-Schmidt Gramova-Schmidtova ortogonalizace Algorithme de Gram-Schmidt Процесс Грама ― Шмидта Gram–Schmidt process
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De Gram-Schmidtmethode is een algoritme waarmee men van een verzameling vectoren een orthogonaal stelsel maakt, door van elke volgende vector de component te bepalen die orthogonaal is met alle vorige. Die component verkrijgt men als het verschil met de projectie op de deelruimte, die wordt voortgebracht door de vorige vectoren. Door elke vector vervolgens nog eens te normeren, verkrijgt men een orthonormaal stelsel vectoren. In mathematics, particularly linear algebra and numerical analysis, the Gram–Schmidt process is a method for orthonormalising a set of vectors in an inner product space, most commonly the Euclidean space Rn. En álgebra lineal, el proceso de ortogonalización de Gram–Schmidt es un algoritmo para construir, a partir de un conjunto de vectores linealmente independientes de un espacio prehilbertiano (usualmente, el espacio euclídeo Rn), otro conjunto ortonormal de vectores que genere el mismo subespacio vectorial.Este algoritmo recibe su nombre de los matemáticos Jørgen Pedersen Gram y Erhard Schmidt. In matematica, e in particolare in algebra lineare, l'ortogonalizzazione Gram-Schmidt è un algoritmo che permette di ottenere un insieme di vettori ortogonali a partire da un generico insieme di vettori linearmente indipendenti in uno spazio vettoriale dotato di un prodotto scalare definito positivo. Das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren ist ein Algorithmus aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Er erzeugt zu jedem System linear unabhängiger Vektoren aus einem Prähilbertraum (einem Vektorraum mit Skalarprodukt) ein Orthogonalsystem, das denselben Untervektorraum erzeugt. Eine Erweiterung stellt das Gram-Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren dar: Statt eines Orthogonalsystems berechnet es ein Orthonormalsystem. Ortogonalizacja Grama-Schmidta to metoda za pomocą której można przekształcić zbiór liniowo niezależnych wektorów przestrzeni unitarnej w zbiór wektorów ortogonalnych. Przestrzenie liniowe rozpinane przez zbiory przed i po ortogonalizacji są tożsame, tak więc proces może służyć do ortogonalizowania bazy.Proces został nazwany na cześć Jørgena Grama, matematyka duńskiego, oraz Erharda Schmidta, matematyka niemieckiego. Gramův-Schmidtův proces neboli Gramova-Schmidtova ortogonalizace (nesprávně Gram-Schmidtova ortogonalizace) je metoda, která v daném unitárním prostoru (neboli vektorovém prostoru se skalárním součinem) umožňuje pro zadanou konečnou množinu vektorů nalézt ortonormální bázi podprostoru jimi generovaného. グラム・シュミットの正規直交化法(グラム・シュミットのせいきちょっこうかほう、英: Gram-Schmidt orthonormalization)とは、内積を持つベクトル空間(計量ベクトル空間)に、ある線型独立なベクトルの組が与えられたとき、そこから正規直交系(それぞれのベクトルのノルムが 1 で、どの二つも互いに直交しているようなベクトルの組)を作り出すアルゴリズムのことである。シュミットの直交化(ちょっこうか、orthogonalization)ともいう。正規化する(ノルムを 1 にする)工程を省略すると、必ずしも正規でない直交系を得ることができる。 Em matemática e análise numérica, o processo de Gram-Schmidt é um método para ortogonalização de um conjunto de vetores em um espaço com produto interno, normalmente o espaço Euclidiano Rn. A matematikában, főként a lineáris algebrában és a numerikus analízisben a Gram–Schmidt-ortogonalizálás (vagy Gram–Schmidt-eljárás) egy skalárszorzatos tér véges, lineárisan független {vj} vektorrendszerét alakítja át olyan {uj} vektorrendszerré, mely elemei páronként merőlegesek (a skalárszorzatra vonatkozóan) és {vj} illetve {uj} ugyanazt az alteret feszíti ki.A módszert Jørgen Pedersen Gram és Erhard Schmidt után nevezték el, bár korábban Laplace-nál is szerepelt az eljárás. En algèbre linéaire, dans un espace préhilbertien (c'est-à-dire un espace vectoriel sur le corps des réels ou celui des complexes, muni d'un produit scalaire), le procédé ou algorithme de Gram-Schmidt est un algorithme pour construire, à partir d'une famille libre finie, une base orthonormée du sous-espace qu'elle engendre. On peut aussi utiliser le procédé de Gram-Schmidt sur une famille infinie dénombrable de vecteurs.
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En algèbre linéaire, dans un espace préhilbertien (c'est-à-dire un espace vectoriel sur le corps des réels ou celui des complexes, muni d'un produit scalaire), le procédé ou algorithme de Gram-Schmidt est un algorithme pour construire, à partir d'une famille libre finie, une base orthonormée du sous-espace qu'elle engendre. On peut aussi utiliser le procédé de Gram-Schmidt sur une famille infinie dénombrable de vecteurs. Ceci permet de démontrer l'existence d'une base hilbertienne si l'espace est séparable. Ortogonalizacja Grama-Schmidta to metoda za pomocą której można przekształcić zbiór liniowo niezależnych wektorów przestrzeni unitarnej w zbiór wektorów ortogonalnych. Przestrzenie liniowe rozpinane przez zbiory przed i po ortogonalizacji są tożsame, tak więc proces może służyć do ortogonalizowania bazy.Proces został nazwany na cześć Jørgena Grama, matematyka duńskiego, oraz Erharda Schmidta, matematyka niemieckiego. In matematica, e in particolare in algebra lineare, l'ortogonalizzazione Gram-Schmidt è un algoritmo che permette di ottenere un insieme di vettori ortogonali a partire da un generico insieme di vettori linearmente indipendenti in uno spazio vettoriale dotato di un prodotto scalare definito positivo. A matematikában, főként a lineáris algebrában és a numerikus analízisben a Gram–Schmidt-ortogonalizálás (vagy Gram–Schmidt-eljárás) egy skalárszorzatos tér véges, lineárisan független {vj} vektorrendszerét alakítja át olyan {uj} vektorrendszerré, mely elemei páronként merőlegesek (a skalárszorzatra vonatkozóan) és {vj} illetve {uj} ugyanazt az alteret feszíti ki.A módszert Jørgen Pedersen Gram és Erhard Schmidt után nevezték el, bár korábban Laplace-nál is szerepelt az eljárás. A Gram–Schmidt-ortogonalizálás egy általánosításának tekinthető a Lie-csoportok elméletében szereplő Iwasawa-dekompozíció.Az eljárás alkalmazható például a reguláris mátrixok QR-felbontásánál. In mathematics, particularly linear algebra and numerical analysis, the Gram–Schmidt process is a method for orthonormalising a set of vectors in an inner product space, most commonly the Euclidean space Rn. The Gram–Schmidt process takes a finite, linearly independent set S = {v1, ..., vk} for k ≤ n and generates an orthogonal set S′ = {u1, ..., uk} that spans the same k-dimensional subspace of Rn as S.The method is named after Jørgen Pedersen Gram and Erhard Schmidt but it appeared earlier in the work of Laplace and Cauchy. In the theory of Lie group decompositions it is generalized by the Iwasawa decomposition.The application of the Gram–Schmidt process to the column vectors of a full column rank matrix yields the QR decomposition (it is decomposed into an orthogonal and a triangular matrix). Em matemática e análise numérica, o processo de Gram-Schmidt é um método para ortogonalização de um conjunto de vetores em um espaço com produto interno, normalmente o espaço Euclidiano Rn. O processo de Gram–Schmidt recebe um conjunto finito, linearmente independente de vetores S = {v1, …, vn} e retorna um conjunto ortonormal S' = {u1, …, un} que gera o mesmo subespaço S inicial.O método leva o nome de Jørgen Pedersen Gram e Erhard Schmidt mas pode ser encontrado antes nos trabalhos de Laplace e Cauchy. Na teoria da Lie group decompositions é generalizado pela decomposição de Iwasawa. Das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren ist ein Algorithmus aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Er erzeugt zu jedem System linear unabhängiger Vektoren aus einem Prähilbertraum (einem Vektorraum mit Skalarprodukt) ein Orthogonalsystem, das denselben Untervektorraum erzeugt. Eine Erweiterung stellt das Gram-Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren dar: Statt eines Orthogonalsystems berechnet es ein Orthonormalsystem. Verwendet man ein System von Basisvektoren als Eingabe für die Algorithmen, so berechnen sie eine Orthogonal- bzw. Orthonormalbasis.Die beiden Verfahren sind nach Jørgen Pedersen Gram und Erhard Schmidt benannt. Sie wurden allerdings bereits früher in den Werken von Pierre-Simon Laplace und Augustin-Louis Cauchy verwendet.Für die numerische Berechnung durch einen Computer mit Gleitpunktarithmetik sind die Gram-Schmidt-Verfahren schlecht geeignet. Durch akkumulierte Rundungsfehler sind die berechneten Vektoren nicht mehr orthogonal. Es existieren aber Modifikationen des Verfahrens, die diesen Fehler nicht haben. Weitere Möglichkeiten für Orthogonalisierungsverfahren basieren auf Householdertransformationen oder Givens-Rotationen. グラム・シュミットの正規直交化法(グラム・シュミットのせいきちょっこうかほう、英: Gram-Schmidt orthonormalization)とは、内積を持つベクトル空間(計量ベクトル空間)に、ある線型独立なベクトルの組が与えられたとき、そこから正規直交系(それぞれのベクトルのノルムが 1 で、どの二つも互いに直交しているようなベクトルの組)を作り出すアルゴリズムのことである。シュミットの直交化(ちょっこうか、orthogonalization)ともいう。正規化する(ノルムを 1 にする)工程を省略すると、必ずしも正規でない直交系を得ることができる。 En álgebra lineal, el proceso de ortogonalización de Gram–Schmidt es un algoritmo para construir, a partir de un conjunto de vectores linealmente independientes de un espacio prehilbertiano (usualmente, el espacio euclídeo Rn), otro conjunto ortonormal de vectores que genere el mismo subespacio vectorial.Este algoritmo recibe su nombre de los matemáticos Jørgen Pedersen Gram y Erhard Schmidt. Gramův-Schmidtův proces neboli Gramova-Schmidtova ortogonalizace (nesprávně Gram-Schmidtova ortogonalizace) je metoda, která v daném unitárním prostoru (neboli vektorovém prostoru se skalárním součinem) umožňuje pro zadanou konečnou množinu vektorů nalézt ortonormální bázi podprostoru jimi generovaného. De Gram-Schmidtmethode is een algoritme waarmee men van een verzameling vectoren een orthogonaal stelsel maakt, door van elke volgende vector de component te bepalen die orthogonaal is met alle vorige. Die component verkrijgt men als het verschil met de projectie op de deelruimte, die wordt voortgebracht door de vorige vectoren. Door elke vector vervolgens nog eens te normeren, verkrijgt men een orthonormaal stelsel vectoren. De vraag of een verzameling vectoren al dan niet orthogonaal of orthonormaal is, hangt af van het gebruikte inproduct.De methode is vernoemd naar Jørgen Pedersen Gram en Erhard Schmidt, maar is van oudere datum en werd al gevonden door Laplace en Cauchy. In de theorie van Lie-groepen is de methode veralgemeend door Kenkichi Iwasawa.
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