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- Un quadrilatère complet est une figure de géométrie plane constituée de quatre droites dont deux quelconques ne sont pas parallèles ni trois quelconques concourantes. Une autre manière de définir un quadrilatère complet est de compléter un quadrilatère convexe ABCD par le point E intersection des droites (AB) et (CD) et le point F intersection des droites (AD) et (BC). Les intersections de ces quatre droites donnent six sommets. L'intersection de deux droites et l'intersection des deux autres droites sont des sommets opposés. Le segment joignant deux sommets opposés est une diagonale. Il y a trois diagonales dans un quadrilatère complet. Cette figure est très liée à la géométrie projective et fut étudiée dès le IIe siècle par Ménélaüs puis Pappus d'Alexandrie. (fr)
- Un quadrilatère complet est une figure de géométrie plane constituée de quatre droites dont deux quelconques ne sont pas parallèles ni trois quelconques concourantes. Une autre manière de définir un quadrilatère complet est de compléter un quadrilatère convexe ABCD par le point E intersection des droites (AB) et (CD) et le point F intersection des droites (AD) et (BC). Les intersections de ces quatre droites donnent six sommets. L'intersection de deux droites et l'intersection des deux autres droites sont des sommets opposés. Le segment joignant deux sommets opposés est une diagonale. Il y a trois diagonales dans un quadrilatère complet. Cette figure est très liée à la géométrie projective et fut étudiée dès le IIe siècle par Ménélaüs puis Pappus d'Alexandrie. (fr)
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- Étant donné trois droites issues d'un point, il n'existe qu'une seule droite formant avec celles-là un faisceau harmonique.
Notons le faisceau des droites .
right
Soit le point d'intersection des diagonales et . Soit l'unique point sur la droite tel que le faisceau soit harmonique. Posons et .
On a , de sorte que le faisceau est harmonique .
Pour une raison analogue, il en est de même de .
Mais comme et que , on a . Or étant harmonique, il en est de même de de sorte que les deux faisceaux et sont tous deux harmoniques et possèdent trois droites communes. En vertu de la propriété d'unicité, ces deux faisceaux sont identiques et par conséquent .
Ainsi par définition de .
Le faisceau est donc harmonique ce qui signifie que divise harmoniquement . (fr)
- thumb| Quadrilatère complet ABCDEF et son image AB'CD'EF par une transformation projective
Cette démonstration utilise les propriétés des applications projectives du plan: elles sont déterminées par l'image des 4 points d'un repère projectif, elles conservent l'alignement et le birapport.
est un repère projectif. On considère l'application projective qui laisse A et C invariants et qui envoie E [resp. F] vers E [resp.F{{ind|∞}}] point à l'infini de la droite [resp. ].
* L'image B' de B est à l'intersection de la droite et de la droite parallèle à ;
* L'image D' de D est à l'intersection de la droite et de la droite parallèle à
Le quadrilatère AB'CD' est donc un parallélogramme
* L'image de I est le point I' intersection des diagonales et
* l'image de J est le point J intersection des droites et
Le birapport [B'C'I'J{{ind|∞}}] est égal à -1, donc le birapport [BCIJ] est aussi égal à -1.
Des raisonnements analogues prouvent les autres divisions harmoniques (fr)
- Soit , deux droites issues de . un point de l'axe des ; et deux droites issues de . On note les quatre points d'intersection.
Image:QuadriCompletPreuvAna.svg
On calcule facilement d'où l'on tire par permutation :
:
La droite a pour équation :
:
On en tire l'abscisse du point d'intersection avec l'axe :
:
Par permutation on déduit celle de :
:
Il en résulte
:
après développement des déterminants.
Remarque : on aurait pu prendre mais la moyenne harmonique aurait été moins visible. (fr)
- Étant donné trois droites issues d'un point, il n'existe qu'une seule droite formant avec celles-là un faisceau harmonique.
Notons le faisceau des droites .
right
Soit le point d'intersection des diagonales et . Soit l'unique point sur la droite tel que le faisceau soit harmonique. Posons et .
On a , de sorte que le faisceau est harmonique .
Pour une raison analogue, il en est de même de .
Mais comme et que , on a . Or étant harmonique, il en est de même de de sorte que les deux faisceaux et sont tous deux harmoniques et possèdent trois droites communes. En vertu de la propriété d'unicité, ces deux faisceaux sont identiques et par conséquent .
Ainsi par définition de .
Le faisceau est donc harmonique ce qui signifie que divise harmoniquement . (fr)
- thumb| Quadrilatère complet ABCDEF et son image AB'CD'EF par une transformation projective
Cette démonstration utilise les propriétés des applications projectives du plan: elles sont déterminées par l'image des 4 points d'un repère projectif, elles conservent l'alignement et le birapport.
est un repère projectif. On considère l'application projective qui laisse A et C invariants et qui envoie E [resp. F] vers E [resp.F{{ind|∞}}] point à l'infini de la droite [resp. ].
* L'image B' de B est à l'intersection de la droite et de la droite parallèle à ;
* L'image D' de D est à l'intersection de la droite et de la droite parallèle à
Le quadrilatère AB'CD' est donc un parallélogramme
* L'image de I est le point I' intersection des diagonales et
* l'image de J est le point J intersection des droites et
Le birapport [B'C'I'J{{ind|∞}}] est égal à -1, donc le birapport [BCIJ] est aussi égal à -1.
Des raisonnements analogues prouvent les autres divisions harmoniques (fr)
- Soit , deux droites issues de . un point de l'axe des ; et deux droites issues de . On note les quatre points d'intersection.
Image:QuadriCompletPreuvAna.svg
On calcule facilement d'où l'on tire par permutation :
:
La droite a pour équation :
:
On en tire l'abscisse du point d'intersection avec l'axe :
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Par permutation on déduit celle de :
:
Il en résulte
:
après développement des déterminants.
Remarque : on aurait pu prendre mais la moyenne harmonique aurait été moins visible. (fr)
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| prop-fr:site
|
- serge.mehl.free.fr (fr)
- serge.mehl.free.fr (fr)
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| prop-fr:titre
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- Démonstration analytique (fr)
- Démonstration en géométrie projective (fr)
- Démonstration géométrique (fr)
- Quadrilatère complet (fr)
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- Un quadrilatère complet est une figure de géométrie plane constituée de quatre droites dont deux quelconques ne sont pas parallèles ni trois quelconques concourantes. Une autre manière de définir un quadrilatère complet est de compléter un quadrilatère convexe ABCD par le point E intersection des droites (AB) et (CD) et le point F intersection des droites (AD) et (BC). Cette figure est très liée à la géométrie projective et fut étudiée dès le IIe siècle par Ménélaüs puis Pappus d'Alexandrie. (fr)
- Un quadrilatère complet est une figure de géométrie plane constituée de quatre droites dont deux quelconques ne sont pas parallèles ni trois quelconques concourantes. Une autre manière de définir un quadrilatère complet est de compléter un quadrilatère convexe ABCD par le point E intersection des droites (AB) et (CD) et le point F intersection des droites (AD) et (BC). Cette figure est très liée à la géométrie projective et fut étudiée dès le IIe siècle par Ménélaüs puis Pappus d'Alexandrie. (fr)
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- Quadrilatère complet (fr)
- Complete quadrangle (en)
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