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- En topologie, on dit d'un espace qu'il est compact s'il est séparé et qu'il vérifie la . La condition de séparation est parfois omise et certains résultats demeurent vrais, comme le ou le théorème de Tychonov. La compacité permet de faire passer certaines propriétés du local au global, c'est-à-dire qu'une propriété vraie au voisinage de chaque point devient valable de façon uniforme sur tout le compact. Plusieurs propriétés des segments de la droite réelle ℝ se généralisent aux espaces compacts, ce qui confère à ces derniers un rôle privilégié dans divers domaines des mathématiques. Notamment, ils sont utiles pour prouver l'existence d'extrema pour une fonction numérique. Le nom de cette propriété rend hommage aux mathématiciens français Émile Borel et Henri Lebesgue, car le théorème qui porte leur nom établit que tout segment de ℝ est compact et, plus généralement, que les compacts de ℝn sont les fermés bornés. Une approche plus intuitive de la compacité dans le cas particulier des espaces métriques est détaillée dans l'article « Compacité séquentielle ». (fr)
- En topologie, on dit d'un espace qu'il est compact s'il est séparé et qu'il vérifie la . La condition de séparation est parfois omise et certains résultats demeurent vrais, comme le ou le théorème de Tychonov. La compacité permet de faire passer certaines propriétés du local au global, c'est-à-dire qu'une propriété vraie au voisinage de chaque point devient valable de façon uniforme sur tout le compact. Plusieurs propriétés des segments de la droite réelle ℝ se généralisent aux espaces compacts, ce qui confère à ces derniers un rôle privilégié dans divers domaines des mathématiques. Notamment, ils sont utiles pour prouver l'existence d'extrema pour une fonction numérique. Le nom de cette propriété rend hommage aux mathématiciens français Émile Borel et Henri Lebesgue, car le théorème qui porte leur nom établit que tout segment de ℝ est compact et, plus généralement, que les compacts de ℝn sont les fermés bornés. Une approche plus intuitive de la compacité dans le cas particulier des espaces métriques est détaillée dans l'article « Compacité séquentielle ». (fr)
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- En topologie, on dit d'un espace qu'il est compact s'il est séparé et qu'il vérifie la . La condition de séparation est parfois omise et certains résultats demeurent vrais, comme le ou le théorème de Tychonov. La compacité permet de faire passer certaines propriétés du local au global, c'est-à-dire qu'une propriété vraie au voisinage de chaque point devient valable de façon uniforme sur tout le compact. Une approche plus intuitive de la compacité dans le cas particulier des espaces métriques est détaillée dans l'article « Compacité séquentielle ». (fr)
- En topologie, on dit d'un espace qu'il est compact s'il est séparé et qu'il vérifie la . La condition de séparation est parfois omise et certains résultats demeurent vrais, comme le ou le théorème de Tychonov. La compacité permet de faire passer certaines propriétés du local au global, c'est-à-dire qu'une propriété vraie au voisinage de chaque point devient valable de façon uniforme sur tout le compact. Une approche plus intuitive de la compacité dans le cas particulier des espaces métriques est détaillée dans l'article « Compacité séquentielle ». (fr)
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