킬링 벡터장(영어: Killing vector field)은 주어진 리만 다양체의 등거리변환의 무한소 생성자인 벡터장이다. 즉 다양체의 대칭을 나타낸다.

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  • In mathematics, a Killing vector field (often just Killing field), named after Wilhelm Killing, is a vector field on a Riemannian manifold (or pseudo-Riemannian manifold) that preserves the metric. Killing fields are the infinitesimal generators of isometries; that is, flows generated by Killing fields are continuous isometries of the manifold. More simply, the flow generates a symmetry, in the sense that moving each point on an object the same distance in the direction of the Killing vector field will not distort distances on the object.
  • 킬링 벡터장(영어: Killing vector field)은 주어진 리만 다양체의 등거리변환의 무한소 생성자인 벡터장이다. 즉 다양체의 대칭을 나타낸다.
  • Pole Killinga – pole wektorowe na rozmaitości riemannowskiej lub pseudoriemannowskiej, które zachowuje tensor metryczny. Dyffeomorfizmy generowane przez pola Killinga są izometriami rozmaitości (pseudo)riemannowskich.Nazwa pochodzi od niemieckiego matematyka Wilhelma Killinga.
  • Un vector de Killing o campo vectorial de Killing es un vector definido sobre una variedad de Riemann o pseudoriemanniana que define un grupo uniparamétrico de isometrías. En teoría de la relatividad general los vectores de Killing son de gran importancia porque permiten definir tanto leyes de conservación como construir otros invariantes útiles en la resolución de problemas físicos.El concepto de vector de Killing se debe a Wilhem Killing (1847-1923).
  • In matematica, un campo vettoriale di Killing è un campo vettoriale su una varietà riemanniana (o pseudo-riemanniana) che preserva la metrica. I campi di Killing sono i generatori infinitesimali delle isometrie.I vettori di Killing sono chiamati così in onore di Wilhelm Killing.
  • Ein Killing-Vektorfeld (benannt nach dem deutschen Mathematiker Wilhelm Killing) ist ein Vektorfeld auf einer Riemann'schen Mannigfaltigkeit, das die Metrik erhält. Killing-Vektorfelder sind die infinitesimalen Generatoren von Isometrien (siehe auch Lie-Gruppe). Entsprechendes gilt für pseudo-Riemann'sche Mannigfaltigkeiten, z. B. in der Allgemeinen Relativitätstheorie.
  • In de Riemann-meetkunde, een deelgebied van de wiskunde, is een Killing-vectorveld (vaak gewoon Killing of ook afgekort KVF genoemd), vernoemd naar de Duitse wiskundige, Wilhelm Killing, een vectorveld op een Riemann-variëteit (of pseudo-Riemann-variëteit), dat de metriek bewaart. Killing-vectorvelden zijn de infinitesimale generatoren van isometrieën; dat wil zeggen stromen, die worden gegenereerd door Killing-vectorvelden, zijn continue isometrieën van de variëteit. Simpel gesteld genereert de stroom een symmetrie, in de zin dat het verplaatsen van elk punt op een object over dezelfde afstand in de richting van het Killing-vectorveld de afstanden op dat object niet zal verstoren.
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  • Le crochet de Lie de par s'écrit, en termes de composantes, :. Pour que ce vecteur soit un vecteur de Killing, il faut et il suffit qu'il satisfasse à l'équation de Killing. On calcule donc : :. Les termes comprenant des produits de deux dérivées premières peuvent être manipulés en utilisant l'équation de Killing pour et , de sorte que l'indice c ne porte pas sur la dérivée covariante, mais sur le vecteur. Ainsi, on a :, car les termes s'annulent deux à deux. Pour les termes comprenant des dérivées seconde, on utilise également les équations de Killing pour chasser l'indice c des dérivées covariantes. On a : On reconnaît le commutateur des dérivées covariantes, que l'on peut réécrire à l'aide du tenseur de Riemann : :. En utilisant enfin les relations d'antisymétrie sur les deux paires d'indices du tenseur de Riemann et en intervertissant les indices muets c et d sur un des deux membres du résultat, on obtient :. Ainsi donc, le crochet de Lie de deux vecteurs de Killing est également un vecteur de Killing.
  • En effet, la divergence de la quantité donne :. Le premier terme est nul, car il est la contraction d'un tenseur symétrique et d'un tenseur antisymétrique . Le second terme est également nul car le tenseur énergie impulsion est par définition de divergence nulle . On a donc :.
  • À partir de l'équation de Killing, on effectue une dérivation supplémentaire. On obtient donc : :. Les dérivées covariantes ne commutent pas en général, mais peuvent être commutées si on leur adjoint un terme supplémentaire faisant appel au tenseur de Riemann : : . On obtient ainsi : . On peut réécrire cette équation en effectuant des permutations sur les indices a, b et c : : . : . En effectuant la somme de ces trois égalités, on obtient : . En vertu de la première identité de Bianchi, les termes du membre de droite s'annulent. On a donc : . En soustrayant ceci à la première égalité faisant intervenir le tenseur de Riemann, il vient alors : .
  • L'opérateur peut se réécrire, d'après la définition d'une géodésique, :. On a donc :. En utilisant la règle de Leibniz des dérivées, on obtient alors :. Le second terme de l'égalité est nul. En effet, la définition même d'une géodésique est que son vecteur tangent est conservé le long de la géodésique, soit :. Le premier terme de l'égalité est également nul. En effet, l'équation de Killing indique que le tenseur est antisymétrique. Sa contraction avec un tenseur symétrique est donc nulle. Ainsi, on a bien :.
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  • Démonstration
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  • 킬링 벡터장(영어: Killing vector field)은 주어진 리만 다양체의 등거리변환의 무한소 생성자인 벡터장이다. 즉 다양체의 대칭을 나타낸다.
  • Pole Killinga – pole wektorowe na rozmaitości riemannowskiej lub pseudoriemannowskiej, które zachowuje tensor metryczny. Dyffeomorfizmy generowane przez pola Killinga są izometriami rozmaitości (pseudo)riemannowskich.Nazwa pochodzi od niemieckiego matematyka Wilhelma Killinga.
  • Un vector de Killing o campo vectorial de Killing es un vector definido sobre una variedad de Riemann o pseudoriemanniana que define un grupo uniparamétrico de isometrías. En teoría de la relatividad general los vectores de Killing son de gran importancia porque permiten definir tanto leyes de conservación como construir otros invariantes útiles en la resolución de problemas físicos.El concepto de vector de Killing se debe a Wilhem Killing (1847-1923).
  • In matematica, un campo vettoriale di Killing è un campo vettoriale su una varietà riemanniana (o pseudo-riemanniana) che preserva la metrica. I campi di Killing sono i generatori infinitesimali delle isometrie.I vettori di Killing sono chiamati così in onore di Wilhelm Killing.
  • Ein Killing-Vektorfeld (benannt nach dem deutschen Mathematiker Wilhelm Killing) ist ein Vektorfeld auf einer Riemann'schen Mannigfaltigkeit, das die Metrik erhält. Killing-Vektorfelder sind die infinitesimalen Generatoren von Isometrien (siehe auch Lie-Gruppe). Entsprechendes gilt für pseudo-Riemann'sche Mannigfaltigkeiten, z. B. in der Allgemeinen Relativitätstheorie.
  • In mathematics, a Killing vector field (often just Killing field), named after Wilhelm Killing, is a vector field on a Riemannian manifold (or pseudo-Riemannian manifold) that preserves the metric. Killing fields are the infinitesimal generators of isometries; that is, flows generated by Killing fields are continuous isometries of the manifold.
  • In de Riemann-meetkunde, een deelgebied van de wiskunde, is een Killing-vectorveld (vaak gewoon Killing of ook afgekort KVF genoemd), vernoemd naar de Duitse wiskundige, Wilhelm Killing, een vectorveld op een Riemann-variëteit (of pseudo-Riemann-variëteit), dat de metriek bewaart. Killing-vectorvelden zijn de infinitesimale generatoren van isometrieën; dat wil zeggen stromen, die worden gegenereerd door Killing-vectorvelden, zijn continue isometrieën van de variëteit.
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  • Vecteur de Killing
  • Campo vettoriale di Killing
  • Killing vector field
  • Killing-Vektorfeld
  • Killing-vectorveld
  • Pole Killinga
  • Vector de Killing
  • Поле Киллинга
  • 킬링 벡터장
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