측도 불가능은 의미있는 측도를 정의할 수 없는 집합을 말한다.

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  • In de maattheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een niet-meetbare verzameling een deelverzameling van een verzameling met een eindig positieve maat, waar de structuur van de deelverzameling echter zo gecompliceerd is dat de maat van deze deelverzameling niet zinvol gedefinieerd kan worden, dat wil zeggen niet zodanig dat de gebruikelijke eigenschappen voor een maat gelden.Historisch gezien heeft deze intuïtie Borel en Kolmogorov beïnvloed om de waarschijnlijkheidstheorie uitsluitend te formuleren op basis van meetbare verzamelingen. De meetbare verzamelingen op de eenheidslijn worden gevormd door telbare verenigingen en doorsnedes van intervallen. Deze meetbare verzamelingen zijn rijk genoeg voor elke denkbare definitie van een verzameling die in de standaard wiskunde ontstaat, maar ze vereisen veel formalisme om te bewijzen dat verzamelingen daadwerkelijk meetbaar zijn. In 1970 stelde Robert Solovay vast dat het, onder de veronderstelling dat ontelbare keuze niet is toegestaan, consistent met de standaard verzamelingentheorie is om te veronderstellen dat er geen niet-meetbare verzamelingen bestaan. Onder aanname van het keuzeaxioma bestaan ze wel, onder andere bestaan dan de niet meetbare Vitali-verzamelingen, en gelden de Hausdorff-paradox en de Banach-Tarskiparadox die onmeetbaarheid van bepaalde verzamelingen impliceren.
  • Questa pagina offre una trattazione non tecnica di questo concetto. Per una trattazione tecnica vedi misura (matematica) e le varie costruzioni di insiemi non misurabili: insieme di Vitali, paradosso di Hausdorff, paradosso di Banach-Tarski.In matematica, un insieme non misurabile è un insieme la cui struttura è così complicata che non permette di fare luce sull'effettivo significato delle nozioni di lunghezza, area o volume.La prima indicazione che ci potrebbe essere un problema a definire la lunghezza per un insieme arbitrario viene dal teorema di Vitali, che essenzialmente afferma che si può prendere un intervallo di lunghezza 1, dividerlo in pezzi, muovere i pezzi e ottenere un intervallo di lunghezza 2 (talvolta questo risultato è detto paradosso di Hausdorff). Tuttavia, è necessario che il numero di pezzi sia infinito. Quindi si potrebbe interpretare il risultato dicendo che la lunghezza corretta di ognuno di questi pezzi è 0, ma quando si sommano si può ottenere 1 o 2. Una simile definizione di lunghezza è detta misura finitamente additiva. Aumentando il numero di dimensioni il quadro peggiora. Il paradosso di Banach-Tarski afferma che si può prendere una sfera di raggio 1, dividerla in un numero finito di parti (si può scendere fino a cinque, di cui una è composta da un singolo punto), spostare e ruotare le varie parti ottenendo due sfere di raggio 1. Ovviamente questa costruzione non ha significato nel mondo fisico. Nel 1989, A. K. Dewdney ha pubblicato una lettera del suo amico Arlo Lipof nella rubrica passatempi al computer della rivista Scientific American, dove descrive un'operazione clandestina "in un paese del Sud America" di duplicazione delle sfere di oro sfruttando il paradosso di Banach-Tarski. Naturalmente era la rubrica del mese di aprile.Il significato pratico del paradosso di Banach-Tarski è che non è possibile definire il volume in tre dimensioni a meno che non si voglia accettare una o più delle seguenti ipotesi: Il volume di un insieme può cambiare se esso viene ruotato Il volume dell'unione di due insiemi disgiunti può essere differente dalla somma dei loro volumi Alcuni insiemi sono etichettabili come "non misurabili" e si deve controllare se un insieme è "misurabile" prima di parlare del suo volume Si devono modificare le regole della matematica per impedire le costruzioni precedenti.Si scopre che il prezzo da pagare per la concessione numero 3 è sorprendentemente piccolo. La famiglia degli insiemi misurabili è molto ricca, e quasi tutti gli insiemi che si possono incontrare nelle varie branche della matematica sono misurabili. Inoltre, non è possibile costruire un insieme non misurabile, ma solo dimostrare indirettamente la sua esistenza, mentre viceversa è spesso facile dimostrare che un dato insieme è misurabile. Quindi questa è l'alternativa preferita dalla maggior parte dei matematici. Come bonus si ottiene che anche una serie infinita di insiemi disgiunti soddisfa la formula della somma, una proprietà che i matematici chiamano σ-additività.D'altra parte, anche il prezzo per la concessione 4 è più piccolo di quanto ci si potrebbe aspettare. Si scopre che uno specifico assioma può essere considerato colpevole. È il famoso assioma della scelta. Si vede che rimuovendo questo assioma dalla matematica cambiano solo aree piccole e facili da identificare, e la maggior parte della matematica rimane inalterata. Vedi assioma della scelta per una trattazione completa. Questa è la seconda alternativa in ordine di preferenza.Infine, l'idea di rimuovere la σ-additività in una dimensione per ottenere una definizione di lunghezza per tutti gli insiemi non si dimostra molto utile. Una breve discussione delle ragioni si può trovare in misura (matematica).
  • 측도 불가능은 의미있는 측도를 정의할 수 없는 집합을 말한다.
  • This page gives a general overview of the concept of non-measurable sets. For a precise definition of measure, see Measure (mathematics). For various constructions of non-measurable sets, see Vitali set, Hausdorff paradox, and Banach–Tarski paradox.In mathematics, a non-measurable set is a set which cannot be assigned a meaningful "size". The mathematical existence of such sets is construed to shed light on the notions of length, area and volume in formal set theory.The notion of a non-measurable set has been a source of great controversy since its introduction. Historically, this led Borel and Kolmogorov to formulate probability theory on sets which are constrained to be measurable. The measurable sets on the line are iterated countable unions and intersections of intervals (called Borel sets) plus-minus null sets. These sets are rich enough to include every conceivable definition of a set that arises in standard mathematics, but they require a lot of formalism to prove that sets are measurable.In 1970, Solovay constructed Solovay's model, which shows that it is consistent with standard set theory, excluding uncountable choice, that all subsets of the reals are measurable.
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  • 측도 불가능은 의미있는 측도를 정의할 수 없는 집합을 말한다.
  • In de maattheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een niet-meetbare verzameling een deelverzameling van een verzameling met een eindig positieve maat, waar de structuur van de deelverzameling echter zo gecompliceerd is dat de maat van deze deelverzameling niet zinvol gedefinieerd kan worden, dat wil zeggen niet zodanig dat de gebruikelijke eigenschappen voor een maat gelden.Historisch gezien heeft deze intuïtie Borel en Kolmogorov beïnvloed om de waarschijnlijkheidstheorie uitsluitend te formuleren op basis van meetbare verzamelingen.
  • Questa pagina offre una trattazione non tecnica di questo concetto.
  • This page gives a general overview of the concept of non-measurable sets. For a precise definition of measure, see Measure (mathematics). For various constructions of non-measurable sets, see Vitali set, Hausdorff paradox, and Banach–Tarski paradox.In mathematics, a non-measurable set is a set which cannot be assigned a meaningful "size".
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  • Tribu de Lebesgue
  • Insieme non misurabile
  • Niet-meetbare verzameling
  • Non-measurable set
  • 측도 불가능
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