En mathématiques, une tribu ou σ-algèbre (lire sigma-algèbre) ou plus rarement corps de Borel sur un ensemble X est un ensemble non vide de parties de X, stable par passage au complémentaire et par union dénombrable (donc aussi par intersection dénombrable). Les tribus permettent de définir rigoureusement la notion d'ensemble mesurable.Progressivement formalisées pendant le premier tiers du XXe siècle, les tribus constituent le cadre dans lequel s'est développée la théorie de la mesure.

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  • En mathématiques, une tribu ou σ-algèbre (lire sigma-algèbre) ou plus rarement corps de Borel sur un ensemble X est un ensemble non vide de parties de X, stable par passage au complémentaire et par union dénombrable (donc aussi par intersection dénombrable). Les tribus permettent de définir rigoureusement la notion d'ensemble mesurable.Progressivement formalisées pendant le premier tiers du XXe siècle, les tribus constituent le cadre dans lequel s'est développée la théorie de la mesure. Les exemples les plus fameux en sont les tribus boréliennes, du nom d'Émile Borel, qui construisit la tribu borélienne de la droite réelle en 1898, et la tribu de Lebesgue, formée des ensembles mesurables définis par Henri Lebesgue en 1901. En conséquence, les tribus sont aussi fondamentales en théorie des probabilités, dont l'axiomatisation moderne s'appuie sur la théorie de la mesure. Dans ce domaine, les tribus ne sont pas seulement le support du formalisme, mais aussi un outil puissant, qui est à la base de la définition de concepts parmi les plus importants : espérance conditionnelle, martingales, etc.
  • 数学における完全加法族(かんぜんかほうぞく、英: completely additive class [of sets])、可算加法族(かさんかほうぞく、英: countably additive class [of sets])あるいは (σ-)加法族、σ-集合代数(シグマしゅうごうだいすう、英: σ-algebra [of subsets over a set])、σ-集合体(シグマしゅうごうたい、英: σ-field [of sets])は、主な用途として測度を定義することに十分な特定の性質を満たす集合の集まりである。特に測度が定義される集合全体を集めた集合族は完全加法族になる。この概念は、解析学ではルベーグ積分に対する基礎付けとして重要であり、また確率論では確率の定義できる事象全体の成す族として解釈される。完全加法族を接頭辞「完全」を付けずに単に「加法族」と呼ぶことも多い(つまり、有限加法族の意味ならば接頭辞「有限」を省略しないのがふつう)ので注意が必要である。 集合 X 上の完全加法族の定義は「集合 X の部分集合からなる族 Σ であって、可算回の加法、乗法と補演算という集合演算について閉じていて、加法についても乗法についても単位元を持つようなもの」である。 集合 X 上の σ-集合代数の定義は「X の部分集合の空でない族 Σ で、X 自身を含み、補集合を取る操作(補演算)および可算な合併に関して閉じているもの」である。即ちこれは、有限加法族あるいは集合代数であって、かつその演算を可算無限回まで含めて順序完備化したものになっている。集合 X とその上の完全加法族 Σ との対 (X, Σ) は可測空間と呼ばれる集合体になる。例えば X = {a, b, c, d} とすると、X 上の完全加法族となる集合族の一つは Σ = { ∅, {a, b}, {c, d}, {a, b, c, d} }で与えられる。より有用な例は、実数直線の部分集合族で、全ての開区間から始めて、それらの可算合併・可算交叉・補演算を取ることをそれらの演算がすべて閉じるようになるまで繰り返して(つまり、開区間を全て含む最小の完全加法族)得られる完全加法族である。得られた完全加法族はボレル σ-集合代数と呼ばれる(ボレル集合の項を参照)。
  • A σ-algebra (szigma-algebra) vagy Borel-féle halmaztest, illetve mérhető tér a matematikai struktúrák egy fajtája. Olyan egyszerű (nem-többszörös), egykomponensű topologikus struktúra, amely amellett, hogy egyszerű halmaztestet (halmazalgebrát) képez, az elemei (az ún. „mérhető/nyílt halmazok”) legfeljebb megszámlálhatóan végtelen sok tagú egyesítésére is zárt.
  • En matemàtiques, una σ-àlgebra (dita sigma-àlgebra) o tribu sobre un conjunt Ω és una col·lecció no buida Σ de subconjunts de Ω que és tancada sota operacions numerables d'unió, intersecció i complementació de conjunts. Una σ-àlgebra és de fet una àlgebra booleana, completada a fi d'incloure un infinit numerable d'operacions. El concepte de σ-àlgebra és essencial per a poder definir mesures en Σ, amb les quals es pot assignar un nombre real als diferents subconjunts d'un determinat conjunt. El concepte de mesura, a la vegada, és fonamental en anàlisi i en la teoria moderna de probabilitat.
  • Em matemática, uma σ-álgebra (pronunciada sigma-álgebra) X sobre um conjunto S é uma coleção de subconjuntos de S a qual é fechada sobre operações contáveis de União, interseção e complemento de conjuntos. Estas álgebras são muito usadas para definir medidas em S. O conceito é importante em análise e probabilidade.
  • In de wiskunde is een sigma-algebra, σ-algebra of stam een collectie deelverzamelingen van een gegeven verzameling die niet alleen een algebra van verzamelingen is, maar waarvoor als extra eigenschap geldt dat ook de vereniging van aftelbare deelcollecties tot de collectie behoort (vandaar de terminologie sigma). In een σ-algebra kan daarom niet alleen, als in een algebra, met verzamelingen gerekend worden, maar is ook een soort limietbegrip mogelijk. Een σ-algebra heeft de geschikte eigenschappen om de "gebeurtenissen" in de kansrekening of de "meetbare verzamelingen" in de maattheorie te vormen.
  • In mathematical analysis and in probability theory, a σ-algebra (also sigma-algebra, σ-field, sigma-field) on a set X is a collection of subsets of X that is closed under countably many set operations (complement, union and intersection). On the other hand, an algebra is only required to be closed under finitely many set operations. That is, a σ-algebra is an algebra of sets, completed to include countably infinite operations. The pair (X, Σ) is also a field of sets, called a measurable space.The main use of σ-algebras is in the definition of measures; specifically, the collection of those subsets for which a given measure is defined is necessarily a σ-algebra. This concept is important in mathematical analysis as the foundation for Lebesgue integration, and in probability theory, where it is interpreted as the collection of events which can be assigned probabilities. Also, in probability, σ-algebras are pivotal in the definition of conditional expectation.If X = {a, b, c, d}, one possible σ-algebra on X is Σ = {∅, {a, b}, {c, d}, {a, b, c, d}}, where ∅ is the empty set. However, a finite algebra is always a σ-algebra.If {A1, A2, A3, …} is a countable partition of X then the collection of all unions of sets in the partition (including the empty set) is a σ-algebra.A more useful example is the set of subsets of the real line formed by starting with all open intervals and adding in all countable unions, countable intersections, and relative complements and continuing this process (by transfinite iteration through all countable ordinals) until the relevant closure properties are achieved (a construction known as the Borel hierarchy).
  • Сигма-алгебра σ-алгебра (си́гма-а́лгебра) — алгебра множеств, замкнутая относительно операции счётного объединения. Сигма-алгебры играют важнейшую роль в теории меры и интегралов Лебега, а также в теории вероятностей.
  • Eine σ-Algebra (auch σ-Mengenalgebra, abgeschlossenes Mengensystem, Sigmakörper oder Borelscher Mengenkörper) ist ein Grundbegriff der Maßtheorie, wo σ-Algebren als Definitionsbereiche für Maße auftreten.Eine σ-Algebra ist eine mengentheoretische Struktur, die ein Mengensystem auf einer festen Grundmenge bezeichnet, das die Grundmenge enthält und abgeschlossen ist bezüglich der Komplementbildung und abzählbaren Vereinigungen. In der Stochastik, welche auf der Maßtheorie aufbaut, spielen σ-Algebren als Ereignisräume eine wichtige Rolle als Systeme von Mengen, die als Ereignisse interpretiert werden.
  • En matemática, una σ-álgebra (léase sigma-álgebra) sobre un conjunto X es una familia Σ no vacía de subconjuntos de X, cerrada bajo complementos, uniones e intersecciones contables. Las σ-álgebras se usan principalmente para definir medidas en X. El concepto es muy importante en análisis matemático y en teoría de la probabilidad.
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  • En mathématiques, une tribu ou σ-algèbre (lire sigma-algèbre) ou plus rarement corps de Borel sur un ensemble X est un ensemble non vide de parties de X, stable par passage au complémentaire et par union dénombrable (donc aussi par intersection dénombrable). Les tribus permettent de définir rigoureusement la notion d'ensemble mesurable.Progressivement formalisées pendant le premier tiers du XXe siècle, les tribus constituent le cadre dans lequel s'est développée la théorie de la mesure.
  • 数学における完全加法族(かんぜんかほうぞく、英: completely additive class [of sets])、可算加法族(かさんかほうぞく、英: countably additive class [of sets])あるいは (σ-)加法族、σ-集合代数(シグマしゅうごうだいすう、英: σ-algebra [of subsets over a set])、σ-集合体(シグマしゅうごうたい、英: σ-field [of sets])は、主な用途として測度を定義することに十分な特定の性質を満たす集合の集まりである。特に測度が定義される集合全体を集めた集合族は完全加法族になる。この概念は、解析学ではルベーグ積分に対する基礎付けとして重要であり、また確率論では確率の定義できる事象全体の成す族として解釈される。完全加法族を接頭辞「完全」を付けずに単に「加法族」と呼ぶことも多い(つまり、有限加法族の意味ならば接頭辞「有限」を省略しないのがふつう)ので注意が必要である。 集合 X 上の完全加法族の定義は「集合 X の部分集合からなる族 Σ であって、可算回の加法、乗法と補演算という集合演算について閉じていて、加法についても乗法についても単位元を持つようなもの」である。 集合 X 上の σ-集合代数の定義は「X の部分集合の空でない族 Σ で、X 自身を含み、補集合を取る操作(補演算)および可算な合併に関して閉じているもの」である。即ちこれは、有限加法族あるいは集合代数であって、かつその演算を可算無限回まで含めて順序完備化したものになっている。集合 X とその上の完全加法族 Σ との対 (X, Σ) は可測空間と呼ばれる集合体になる。例えば X = {a, b, c, d} とすると、X 上の完全加法族となる集合族の一つは Σ = { ∅, {a, b}, {c, d}, {a, b, c, d} }で与えられる。より有用な例は、実数直線の部分集合族で、全ての開区間から始めて、それらの可算合併・可算交叉・補演算を取ることをそれらの演算がすべて閉じるようになるまで繰り返して(つまり、開区間を全て含む最小の完全加法族)得られる完全加法族である。得られた完全加法族はボレル σ-集合代数と呼ばれる(ボレル集合の項を参照)。
  • A σ-algebra (szigma-algebra) vagy Borel-féle halmaztest, illetve mérhető tér a matematikai struktúrák egy fajtája. Olyan egyszerű (nem-többszörös), egykomponensű topologikus struktúra, amely amellett, hogy egyszerű halmaztestet (halmazalgebrát) képez, az elemei (az ún. „mérhető/nyílt halmazok”) legfeljebb megszámlálhatóan végtelen sok tagú egyesítésére is zárt.
  • Em matemática, uma σ-álgebra (pronunciada sigma-álgebra) X sobre um conjunto S é uma coleção de subconjuntos de S a qual é fechada sobre operações contáveis de União, interseção e complemento de conjuntos. Estas álgebras são muito usadas para definir medidas em S. O conceito é importante em análise e probabilidade.
  • Сигма-алгебра σ-алгебра (си́гма-а́лгебра) — алгебра множеств, замкнутая относительно операции счётного объединения. Сигма-алгебры играют важнейшую роль в теории меры и интегралов Лебега, а также в теории вероятностей.
  • En matemática, una σ-álgebra (léase sigma-álgebra) sobre un conjunto X es una familia Σ no vacía de subconjuntos de X, cerrada bajo complementos, uniones e intersecciones contables. Las σ-álgebras se usan principalmente para definir medidas en X. El concepto es muy importante en análisis matemático y en teoría de la probabilidad.
  • Eine σ-Algebra (auch σ-Mengenalgebra, abgeschlossenes Mengensystem, Sigmakörper oder Borelscher Mengenkörper) ist ein Grundbegriff der Maßtheorie, wo σ-Algebren als Definitionsbereiche für Maße auftreten.Eine σ-Algebra ist eine mengentheoretische Struktur, die ein Mengensystem auf einer festen Grundmenge bezeichnet, das die Grundmenge enthält und abgeschlossen ist bezüglich der Komplementbildung und abzählbaren Vereinigungen.
  • In de wiskunde is een sigma-algebra, σ-algebra of stam een collectie deelverzamelingen van een gegeven verzameling die niet alleen een algebra van verzamelingen is, maar waarvoor als extra eigenschap geldt dat ook de vereniging van aftelbare deelcollecties tot de collectie behoort (vandaar de terminologie sigma). In een σ-algebra kan daarom niet alleen, als in een algebra, met verzamelingen gerekend worden, maar is ook een soort limietbegrip mogelijk.
  • En matemàtiques, una σ-àlgebra (dita sigma-àlgebra) o tribu sobre un conjunt Ω és una col·lecció no buida Σ de subconjunts de Ω que és tancada sota operacions numerables d'unió, intersecció i complementació de conjunts. Una σ-àlgebra és de fet una àlgebra booleana, completada a fi d'incloure un infinit numerable d'operacions. El concepte de σ-àlgebra és essencial per a poder definir mesures en Σ, amb les quals es pot assignar un nombre real als diferents subconjunts d'un determinat conjunt.
  • In mathematical analysis and in probability theory, a σ-algebra (also sigma-algebra, σ-field, sigma-field) on a set X is a collection of subsets of X that is closed under countably many set operations (complement, union and intersection). On the other hand, an algebra is only required to be closed under finitely many set operations. That is, a σ-algebra is an algebra of sets, completed to include countably infinite operations.
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  • Tribu (mathématiques)
  • Przestrzeń mierzalna
  • Sigma algebra
  • Sigma-algebra
  • Sigma-algebra
  • Sigma-algebra
  • Sigma-álgebra
  • Σ-Algebra
  • Σ-algebra
  • Σ-àlgebra
  • Σ-álgebra
  • Сигма-алгебра
  • Сигма-алгебра
  • 完全加法族
  • 시그마-대수
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