La théorie des domaines est une branche des mathématiques dont le principal champ d'application se trouve en informatique théorique. Cette partie de la théorie des ensembles ordonnés a été introduite par Dana Scott pendant les années 1960, afin de fournir le cadre théorique nécessaire à la définition d'une sémantique dénotationnelle du lambda-calcul.Les domaines sont des ensembles partiellement ordonnés.

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  • La théorie des domaines est une branche des mathématiques dont le principal champ d'application se trouve en informatique théorique. Cette partie de la théorie des ensembles ordonnés a été introduite par Dana Scott pendant les années 1960, afin de fournir le cadre théorique nécessaire à la définition d'une sémantique dénotationnelle du lambda-calcul.Les domaines sont des ensembles partiellement ordonnés. Dans la sémantique dénotationnelle du lambda-calcul, les éléments des domaines représentent les lambda-termes et le plus petit élément (quand on en munit le domaine) représente le résultat d'un calcul ne finissant pas, c'est l'élément dit « indéfini », noté ⊥ (prononcer « bottom »). L'ordre du domaine définit, dans l'idée, une notion de quantité d'information : un élément du domaine contient au moins toute l'information contenue dans les éléments qui lui sont inférieurs.L'idée est ensuite de se ramener à des domaines particuliers où toute fonction monotone (croissante) a un plus petit point fixe. En général, on utilise des ordres partiels complets (complete partial order, ou CPO), c'est-à-dire des domaines qui possèdent un plus petit élément et où toute chaîne (partie strictement ordonnée) a une borne supérieure.Ainsi, il devient aisé d'associer une sémantique au combinateur de point fixe Y, en le représentant par une fonction totale qui à une fonction associe un de ses points fixes s'il en existe et ⊥ sinon. Par là-même, donner un sens à une fonction définie « récursivement » (c'est-à-dire en fait, en tant que point fixe d'une fonctionnelle G) devient possible : si f est la fonction qui à 0 associe 1 et à n 0 associe n * f(n – 1), on peut aussi définir f comme ceci : f = Y(G) (point fixe de G) où G est la fonction qui prend une fonction φ en entrée et rend la fonction qui à 0 associe 1 et à n 0 associe n * φ(n – 1) (et à ⊥ associe ⊥, par définition de ⊥). G est monotone sur le domaine des fonctions de ℕ⊥ dans ℕ⊥ et, à ce titre, admet un point fixe (la fonction factorielle) alors, on a un moyen de calculer f : en itérant G sur la fonction f0 = ⊥, c'est-à-dire la fonction qui à tout entier naturel et à ⊥ associe ⊥. f est la limite de la suite ainsi obtenue (et le plus petit point fixe de G).La théorie des domaines permet aussi de donner un sens aux équations de domaine de type A = A → A (A est l'ensemble des fonctions de A dans A). Dans les mathématiques habituelles, ceci est absurde, à moins de donner un sens particulier à cette flèche. Par exemple ℝ = ℝ → ℝ paraît impossible, ne serait-ce que pour des raisons de cardinalité (Dans la théorie des cardinaux, ℝ est un infini strictement plus petit que ℝ → ℝ) ; pourtant, si cette flèche ne représente que les applications continues de ℝ dans ℝ, on garde bien le même cardinal que ℝ (en effet, une application continue de ℝ dans ℝ peut être définie par sa restriction à l'ensemble dénombrable ℚ, donc cet ensemble a le cardinal de ℝℕ, donc de ℝ).En théorie des domaines, la notion de continuité sur un ensemble A aura son équivalent : la continuité selon Scott (en) sur un domaine A. Une fonction est Scott-continue ssi elle est monotone sur A et si pour toute partie filtrante (partie où toute paire d'éléments a un majorant) B de A admettant une borne supérieure, on a sup(f(B)) = f(sup(B)). Cette définition sera souvent simplifiée pour le cas où A est un CPO : la fonction est continue si et seulement si elle est monotone et si, pour toute chaîne B, on a sup(f(B)) = f(sup(B)).Portail de la logique Portail de la logique Portail de l'informatique théorique Portail de l'informatique théorique
  • 領域理論 (りょういきりろん、英: domain theory)は、領域 (domain) と呼ばれる特別な種類の半順序集合を研究する数学の分野であり、順序理論の一分野である。 計算機科学の表示的意味論(英: denotational semantics)を構築するために用いられる。 領域理論は、近似と収束という直観的概念を極めて一般的な枠組で形式化し、位相空間と密接な関係をもつ。 表示的意味論に対する他の重要なアプローチとしては距離空間を用いるものがある。
  • 도메인 이론은 수학에서 특별한 종류의 일반적으로 도메인이라 불리는 부분순서에 대하여 학습하는 한 분야이다. 따라서, 도메인 이론은 주문 이론의 한 분야라고 생각할 수 있다. 이 분야에서 전산학에서 주요 애플리케이션으로 열거하자면 표시적 의미론, 특히 함수 프로그램 언어에서 쓰였다. 도메인 이론은 정식화된 매우 일반적인 방법으로 수렴과 접근에 관한 직관적 아이디어이다. 그리고 위상 기하학에서 닫힌 관계이다. 전산학의 중요한 표시적 의미론이 접근하고 있는 것은 계량 공간이다.
  • Domain theory is a branch of mathematics that studies special kinds of partially ordered sets (posets) commonly called domains. Consequently, domain theory can be considered as a branch of order theory. The field has major applications in computer science, where it is used to specify denotational semantics, especially for functional programming languages. Domain theory formalizes the intuitive ideas of approximation and convergence in a very general way and has close relations to topology. An alternative important approach to denotational semantics in computer science is that of metric spaces.
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  • La théorie des domaines est une branche des mathématiques dont le principal champ d'application se trouve en informatique théorique. Cette partie de la théorie des ensembles ordonnés a été introduite par Dana Scott pendant les années 1960, afin de fournir le cadre théorique nécessaire à la définition d'une sémantique dénotationnelle du lambda-calcul.Les domaines sont des ensembles partiellement ordonnés.
  • 領域理論 (りょういきりろん、英: domain theory)は、領域 (domain) と呼ばれる特別な種類の半順序集合を研究する数学の分野であり、順序理論の一分野である。 計算機科学の表示的意味論(英: denotational semantics)を構築するために用いられる。 領域理論は、近似と収束という直観的概念を極めて一般的な枠組で形式化し、位相空間と密接な関係をもつ。 表示的意味論に対する他の重要なアプローチとしては距離空間を用いるものがある。
  • 도메인 이론은 수학에서 특별한 종류의 일반적으로 도메인이라 불리는 부분순서에 대하여 학습하는 한 분야이다. 따라서, 도메인 이론은 주문 이론의 한 분야라고 생각할 수 있다. 이 분야에서 전산학에서 주요 애플리케이션으로 열거하자면 표시적 의미론, 특히 함수 프로그램 언어에서 쓰였다. 도메인 이론은 정식화된 매우 일반적인 방법으로 수렴과 접근에 관한 직관적 아이디어이다. 그리고 위상 기하학에서 닫힌 관계이다. 전산학의 중요한 표시적 의미론이 접근하고 있는 것은 계량 공간이다.
  • Domain theory is a branch of mathematics that studies special kinds of partially ordered sets (posets) commonly called domains. Consequently, domain theory can be considered as a branch of order theory. The field has major applications in computer science, where it is used to specify denotational semantics, especially for functional programming languages. Domain theory formalizes the intuitive ideas of approximation and convergence in a very general way and has close relations to topology.
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  • Théorie des domaines
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  • 領域理論
  • 도메인 이론
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