En mathématiques, la théorie des corps de classes est une branche majeure de la théorie algébrique des nombres qui a pour objet la classification des extensions abéliennes, c'est-à-dire galoisiennes et de groupe de Galois commutatif, d'un corps commutatif donné. Plus précisément, il s'agit de décrire et de construire ces extensions en termes de propriétés arithmétiques du corps de base lui-même.La plupart des résultats centraux ont été démontrés dans la période s'étendant entre 1900 et 1950.

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  • En mathématiques, la théorie des corps de classes est une branche majeure de la théorie algébrique des nombres qui a pour objet la classification des extensions abéliennes, c'est-à-dire galoisiennes et de groupe de Galois commutatif, d'un corps commutatif donné. Plus précisément, il s'agit de décrire et de construire ces extensions en termes de propriétés arithmétiques du corps de base lui-même.La plupart des résultats centraux ont été démontrés dans la période s'étendant entre 1900 et 1950. La théorie a été nommée ainsi en rapport avec les idées, conjectures et résultats de ses débuts, tel que le corps de classes de Hilbert, et s'organisa vers 1930. De nos jours, le terme est généralement utilisé comme synonyme de l'étude de toutes les extensions abéliennes des corps de nombres algébriques (et plus généralement des corps globaux), mais aussi des corps de nombres p-adiques (et plus généralement des corps locaux).Une autre ligne importante est la recherche de générateurs explicites pour les corps de classes de corps de nombres algébriques, c'est-à-dire de générateurs donnés par les valeurs de fonctions transcendantes. C'est le Kronecker Jugendtraum (rêve de jeunesse de Kronecker). Il n'est encore réalisé que pour de rares cas, notamment celui du corps des rationnels (théorème de Kronecker-Weber, où les générateurs sont des racines de l'unité, c'est-à-dire des valeurs de la fonction exponentielle), et des corps quadratiques imaginaires (cas des corps à multiplication complexe, où les générateurs sont des valeurs de fonctions elliptiques).
  • Em matemática, a teoria dos corpos de classes é um ramo essencial da teoria algébrica dos números quem tem por objeto a classificação das extensões abelianas, ou seja, as galoisianas e grupos de Galois comutativos, de um corpo dado. Mais precisamente, eatua de maneira a descrever e construir estas extensões em termos de propriedades aritméticos do próprio corpo básico.
  • 수론에서, 유체론(類體論, 영어: class field theory)은 대수적 수론의 한 분야다. 대수적 수체와 대수적 함수체의 아벨 확대를 다룬다.대략, 체 K에 대하여, 어떤 최대 아벨 확대 A가 존재한다. 그 갈루아 군 G는 콤팩트 아벨 사유한군의 구조를 가진다. 유체론의 기본 목표는 주어진 K에 대한 G의 성질들을 계산하는 것이다.
  • En matemáticas, la teoria de cuerpos de clases es una rama esencial de la teoría de números algebraicos que tiene por objeto la clasificación de las extensiones abelianas, o ya sea, las galoisianas y grupos de Galois comutativos, de un cuerpo dado. Más precisamente, trata la manera de describir y construir estas extensiones en términos de propiedades aritméticas del propio cuerpo básico.
  • In mathematics, class field theory is a major branch of algebraic number theory that studies abelian extensions of number fields and function fields of curves over finite fields and arithmetic properties of such abelian extensions. A general name for such fields is global fields, or one-dimensional global fields.The theory takes its name from the fact that it provides a one-to-one correspondence between finite abelian extensions of a fixed global field and appropriate classes of ideals of the field or open subgroups of the idele class group of the field. For example, the Hilbert class field, which is the maximal unramified abelian extension of a number field, corresponds to a very special class of ideals. Class field theory also includes a reciprocity homomorphism, which acts from the idele class group of a global field, i.e. the quotient of the ideles by the multiplicative group of the field, to the Galois group of the maximal abelian extension of the global field. Each open subgroup of the idele class group of a global field is the image with respect to the norm map from the corresponding class field extension down to the global field.A standard method since the 1930s is to develop local class field theory, which describes abelian extensions of completions of a global field, and then use it to construct global class field theory.
  • In de abstracte algebra, een deelgebied van de wiskunde, is de klassenveldtheorie een belangrijk onderdeel van de algebraïsche getaltheorie. De klassenveldtheorie houdt zich bezig met de beschrijving van abelse uitbreidingen van globale- en lokale velden. Het label "klassenveld" verwijst naar een velduitbreiding (Vlaamse term) of lichaamsuitbreiding (Nederlandse term), die voldoet aan een technische eigenschap die historisch is gerelateerd aan ideale klassegroepen. Een van de belangrijkste stellingen is dat klassevelden identiek zijn aan abelse uitbreidingen.Drie thema's, die aan het einde van de 19de eeuw in de getaltheorie speelden, hebben tot de klassenveldtheorie geleid:relaties tussen abelse uitbreidingen en ideaal klassengroepen, dichtheidsstellingen voor priemgetallen (en L-functies)reciprociteitswetten. Deze drie thema's zijn vervolgens verder uitgewerkt, aan elkaar gekoppeld en concreet gemaakt in de werken van onder andere Leopold Kronecker, Heinrich Weber, David Hilbert, Teiji Takagi, Emil Artin, Helmut Hasse en Claude Chevalley. De meeste van de centrale resultaten in de klassenveldtheorie werden in de periode tussen 1900 en 1950 bewezen. De theorie ontleent zijn naam aan enkele vroege ideeën, vermoedens en resultaten zoals die over het Hilbert-klassenveld, die zo rond 1930 in de klassenveldtheorie waren verwerkt. De ideale klassegroep (een fundamenteel object van studie binnen een enkelvoudig getallenlichaam K, zoals een kwadratisch veld), wordt ook gezien als een Galoisgroep van een velduitbreiding L/K; een structuur gebouwd bovenop K en een structuur, waar mogelijk irrationele getallen bij betrokken zijn die verder gaan dan vierkantswortels.
  • 数学における類体論(るいたいろん、英: class field theory)は、有限体上の曲線の函数体や数体のアーベル拡大について、およびそのようなアーベル拡大に関する数論的性質について研究する、代数的数論の一大分野である。理論の対象となる体は、一般に大域体もしくは一次元大域体と呼ばれるものである。与えられた大域体の有限次アーベル拡大と、その体の適当なイデアル類もしくはその体のイデール類群の開部分群との間に一対一対応が取れるという事実によって、類体論の名がある。例えば、数体の最大不分岐アーベル拡大であるヒルベルト類体は、非常に特別なイデアル類に対応する。類体論は、大域体のイデール類群(即ち、体の乗法群によるイデールの商)によってその大域体の最大アーベル拡大のガロワ群へ作用する相互律準同型 (reciprocity homomorphism) を含む。大域体のイデール類群の各開部分群は、対応する類体拡大からもとの大域体へ落ちるノルム写像の像になっているのである。標準的な方法論は、1930年代以降発達した局所類体論で、これは大域体の完備化である局所体のアーベル拡大を記述するものであり、これを用いて大域類体論が構築される。
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  • En mathématiques, la théorie des corps de classes est une branche majeure de la théorie algébrique des nombres qui a pour objet la classification des extensions abéliennes, c'est-à-dire galoisiennes et de groupe de Galois commutatif, d'un corps commutatif donné. Plus précisément, il s'agit de décrire et de construire ces extensions en termes de propriétés arithmétiques du corps de base lui-même.La plupart des résultats centraux ont été démontrés dans la période s'étendant entre 1900 et 1950.
  • Em matemática, a teoria dos corpos de classes é um ramo essencial da teoria algébrica dos números quem tem por objeto a classificação das extensões abelianas, ou seja, as galoisianas e grupos de Galois comutativos, de um corpo dado. Mais precisamente, eatua de maneira a descrever e construir estas extensões em termos de propriedades aritméticos do próprio corpo básico.
  • 수론에서, 유체론(類體論, 영어: class field theory)은 대수적 수론의 한 분야다. 대수적 수체와 대수적 함수체의 아벨 확대를 다룬다.대략, 체 K에 대하여, 어떤 최대 아벨 확대 A가 존재한다. 그 갈루아 군 G는 콤팩트 아벨 사유한군의 구조를 가진다. 유체론의 기본 목표는 주어진 K에 대한 G의 성질들을 계산하는 것이다.
  • En matemáticas, la teoria de cuerpos de clases es una rama esencial de la teoría de números algebraicos que tiene por objeto la clasificación de las extensiones abelianas, o ya sea, las galoisianas y grupos de Galois comutativos, de un cuerpo dado. Más precisamente, trata la manera de describir y construir estas extensiones en términos de propiedades aritméticas del propio cuerpo básico.
  • 数学における類体論(るいたいろん、英: class field theory)は、有限体上の曲線の函数体や数体のアーベル拡大について、およびそのようなアーベル拡大に関する数論的性質について研究する、代数的数論の一大分野である。理論の対象となる体は、一般に大域体もしくは一次元大域体と呼ばれるものである。与えられた大域体の有限次アーベル拡大と、その体の適当なイデアル類もしくはその体のイデール類群の開部分群との間に一対一対応が取れるという事実によって、類体論の名がある。例えば、数体の最大不分岐アーベル拡大であるヒルベルト類体は、非常に特別なイデアル類に対応する。類体論は、大域体のイデール類群(即ち、体の乗法群によるイデールの商)によってその大域体の最大アーベル拡大のガロワ群へ作用する相互律準同型 (reciprocity homomorphism) を含む。大域体のイデール類群の各開部分群は、対応する類体拡大からもとの大域体へ落ちるノルム写像の像になっているのである。標準的な方法論は、1930年代以降発達した局所類体論で、これは大域体の完備化である局所体のアーベル拡大を記述するものであり、これを用いて大域類体論が構築される。
  • In mathematics, class field theory is a major branch of algebraic number theory that studies abelian extensions of number fields and function fields of curves over finite fields and arithmetic properties of such abelian extensions.
  • In de abstracte algebra, een deelgebied van de wiskunde, is de klassenveldtheorie een belangrijk onderdeel van de algebraïsche getaltheorie. De klassenveldtheorie houdt zich bezig met de beschrijving van abelse uitbreidingen van globale- en lokale velden. Het label "klassenveld" verwijst naar een velduitbreiding (Vlaamse term) of lichaamsuitbreiding (Nederlandse term), die voldoet aan een technische eigenschap die historisch is gerelateerd aan ideale klassegroepen.
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  • Théorie des corps de classes
  • Class field theory
  • Klassenkörpertheorie
  • Klassenveldtheorie
  • Teoria dos corpos de classes
  • Teoría de cuerpos de clases
  • Теория полей классов
  • 類体論
  • 유체론
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