En mathématiques, la théorie algébrique des nombres est la branche de l'arithmétique utilisant des outils issus de l'algèbre pour mieux comprendre les nombres. Son origine est l'étude des nombres entiers et particulièrement les équations diophantiennes. Pour en résoudre certaines, il est utile de considérer d'autres entiers, dits algébriques.

PropertyValue
dbpedia-owl:abstract
  • En mathématiques, la théorie algébrique des nombres est la branche de l'arithmétique utilisant des outils issus de l'algèbre pour mieux comprendre les nombres. Son origine est l'étude des nombres entiers et particulièrement les équations diophantiennes. Pour en résoudre certaines, il est utile de considérer d'autres entiers, dits algébriques. Un exemple est donné par le théorème des deux carrés de Fermat utilisant les entiers de Gauss.Ces ensembles sont équipés de deux lois une addition et une multiplication qui vérifient les mêmes propriétés élémentaires que les entiers naturels, on parle d'anneaux. En particulier, certains d'entre eux disposent d'une division euclidienne. Les résultats classiques de l'arithmétique des entiers naturels s'appliquent encore : lemme d'Euclide, Identité de Bézout ou encore le théorème fondamental de l'arithmétique. Une structure est particulièrement utilisée, celle de l'anneau quotient ℤ/nℤ composée de congruences sur les entiers. Elle est à l'origine d'une branche de la théorie algébrique des nombres : l'arithmétique modulaire.Tous les ensembles de cette nature n'admettent pas une division euclidienne. Il existe parfois plusieurs décompositions en facteurs premiers. Cette spécificité amène à étudier de manière générale les propriétés de ces structures. Si l'ensemble choisi n'est pas trop vaste, c'est-à-dire qu'il existe un entier n tel que tout élément de l'ensemble est racine d'un polynôme dont le degré ne dépasse pas n, il existe une famille de propriétés toujours vérifiées. De telles structures sont appelées anneau de Dedekind.[pas clair] L'étude de ces structures est appelée théorie algébrique classique des nombres.Une autre structure est utile, elle correspond au plus petit ensemble contenant celui des entiers algébriques considérés tel que tous les éléments non nuls admettent un inverse pour la multiplication. La structure porte le nom de corps commutatif, il s'obtient par une démarche de la même nature que celle qui permet de construire les nombres rationnels, on parle de corps des fractions. Ces ensembles dont les éléments sont appelés nombres algébriques sont l'objet d'une théorie dite de Galois.Des technologies mathématiques avancées – comme la cohomologie galoisienne, la théorie des corps de classes, la théorie des représentations d'un groupe fini et les fonctions L – permettent d'étudier les propriétés fines de ces classes de nombres. De nombreuses questions en théorie des nombres sont étudiées modulo p pour tous les nombres premiers p (voir les corps finis). Ce procédé est appelé localisation et conduit à la construction des nombres p-adiques ; l'étude des corps locaux emploie les mêmes techniques que celle décrite précédemment des corps de nombres. Elle est même en fait beaucoup plus simple, et les résultats sur les corps de nombres sont souvent déduits de ceux sur les corps locaux : c'est le principe local-global.
  • La teoría de números algebraicos o teoría algebraica de números es una rama de la teoría de los números en la cual el concepto de número se expande a los números algebraicos, los cuales son las raíces de los polinomios con coeficientes racionales.Un campo de números algebraico es una extensión finita (algebraica) del campo de los números racionales. El anillo de enteros de un campo de números algebraico es la cerrazón de los enteros en dicho campo, es decir, el subconjunto del campo que consiste de los elementos que son raíces de polinomios con coeficientes enteros.Se puede ver, y tratar, a un campo de números algebraico como un análogo de los racionales, y a su anillo de enteros como un análogo de los enteros. Ahora bien, la analogía no es perfecta: algunas de las propiedades familiares de los racionales y los enteros no se conservan -- por ejemplo, la factorización única. (La teoría de ideales suple en parte la falta de factorización única.)Los campos de números algebraicos, así como los campos de funciones, son llamados campos globales. Gran parte de la teoría se puede desarrollar de manera paralela para ambos tipos de objetos. La localización consiste en el pasaje de un campo global a un campo local: en el caso de los campos de funciones, este procedimiento consiste simplemente en dirigir la mirada a un punto en particular de la superficie o variedad estudiada, y concentrarse en cómo las funciones se comportan en su vecindad inmediata.
  • In de wiskunde is de algebraïsche getaltheorie een belangrijke tak van de getaltheorie, die algebraïsche structuren bestudeert, die in verband staan met de algebraïsche gehele getallen. Over het algemeen beschouwt men in de algebraïsche getaltheorie ringen van algebraïsche gehele getallen O in een algebraïsch getallenlichaam K/Q (dat wil zeggen een eindige uitbreiding van de rationale getallen Q), en door de eigenschappen van deze ringen en velden (bijvoorbeeld factorisatie, idealen, velduitbreidingen) te bestuderen. In deze context hoeven de bekende eigenschappen van gehele getallen (bijvoorbeeld unieke factorisatie) niet meer op de gaan. De verdienste van de gebruikte theorieën - Galoistheorie, groepcohomologie, groepsrepresentatie en L-functies - is dat gebruik ervan het mogelijk maakt voor deze nieuwe klasse van gehele getallen de orde gedeeltelijk te herstellen.
  • Teoria algébrica dos números é um ramo da teoria dos números em que o conceito de número é expandido para o de número algébrico, que são raízes de polinômios com coeficientes racionais. Um corpo de números algébricos é uma extensão de corpo finita (e por isso algébrica) dos números racionais. Estes domínios contêm elementos análogos aos inteiros, os chamados inteiros algébricos. Nesta conformação, as propriedades familiares aos inteiros (e.g. fatoração única) não necessitam valer. A virtude da maquinaria empregada — teoria de Galois, cohomologia de grupos, teoria dos corpos de classes, representação de grupo e funções-L — é que ela permite recobrar parcialmente tal ordem para essa nova classe de números.Muitas questões em teoria de números são melhor atacadas estudando-as modulo p para todos os primos p (veja-se: corpos finitos). Isto é chamado localização e leva à construção dos números p-ádicos. Este campo de estudo é chamado análise local e emerge da teoria algébrica de números.
  • Алгебрична теория на числата е дял от теория на числата изучаващ алгебричните цели числа, използувайки набор средства от модерната абстрактна алгебра: теория на идеалите, разширения на Галоа, области на Дедекинд, теория на представянията и др. Методите на теорията се развиват през 19 век, до голяма степен породени от устрема за решение на последната теорема на Ферма. Рихард Дедекинд разработва теория на идеалите през 1876 поставяйки началото на систематично изследване на алгебричната теория на числата.
  • Die algebraische Zahlentheorie ist ein Teilgebiet der Zahlentheorie, die wiederum ein Teilgebiet der Mathematik ist.Die algebraische Zahlentheorie geht über die ganzen bzw. rationalen Zahlen hinaus und betrachtet algebraische Zahlkörper, das sind endliche Erweiterungen der rationalen Zahlen. Elemente von Zahlkörpern sind Nullstellen von Polynomen mit rationalen Koeffizienten. Diese Zahlkörper enthalten den ganzen Zahlen analoge Teilmengen, die Ganzheitsringe. Sie verhalten sich in vieler Hinsicht wie der Ring der ganzen Zahlen, aber manche Eigenschaften nehmen eine etwas andere Form an. Beispielsweise gibt es im Allgemeinen keine eindeutige Zerlegung in Primzahlen mehr, sondern nur noch in Primideale. Die algebraische Zahlentheorie beschäftigt sich weiterhin mit dem Studium algebraischer Funktionenkörper über endlichen Körpern, deren Theorie weitgehend analog zur Theorie der Zahlkörper verläuft. Algebraische Zahl- und Funktionenkörper werden unter dem Namen „globale Körper“ zusammengefasst.Oftmals stellt es sich als fruchtbar heraus, Fragen „lokal“, also für jede Primstelle einzeln zu betrachten (Lokal-global-Prinzip). Dieser Vorgang führt im Fall der ganzen Zahlen zu den p-adischen Zahlen, allgemeiner zu lokalen Körpern.
  • Algebraic number theory is a major branch of number theory that studies algebraic structures related to algebraic integers. This is generally accomplished by considering a ring of algebraic integers O in an algebraic number field K/Q, and studying their algebraic properties such as factorization, the behaviour of ideals, and field extensions. In this setting, the familiar features of the integers—such as unique factorization—need not hold. The virtue of the primary machinery employed—Galois theory, group cohomology, group representations, and L-functions—is that it allows one to deal with new phenomena and yet partially recover the behaviour of the usual integers.
  • Algebraiczna teoria liczb - gałąź matematyki zajmująca się badaniem uogólnień pojęcia liczb wymiernych - liczbami algebraicznymi i ciałami liczbowymi.
  • 대수적 (정)수론(代數的(整)數論, 영어: algebraic number theory)은 수론의 한 분야로, 대수적 수(유리 계수 다항식의 근)의 성질을 다룬다. 유리수체의 유한 확장을 대수적 수체라고 하는데, 마치 유리수에 정수가 들어있는 것과 마찬가지로, 대수적 수체에는 대수적 정수가 들어있다. 단, 정수에서 성립하는 유일 인수분해와 같은 성질들이 대수적 정수에 대해서도 언제나 성립하는 것은 아니다.
  • La teoria dels nombres algebraics és una branca de la teoria de nombres en què el concepte de nombre s'estén al de nombres algebraics que són les arrels dels polinomis no nuls amb coeficients racionals.
dbpedia-owl:wikiPageID
  • 976945 (xsd:integer)
dbpedia-owl:wikiPageLength
  • 15783 (xsd:integer)
dbpedia-owl:wikiPageOutDegree
  • 110 (xsd:integer)
dbpedia-owl:wikiPageRevisionID
  • 97530550 (xsd:integer)
dbpedia-owl:wikiPageWikiLink
prop-fr:auteur
  • David J. Wright
prop-fr:langue
  • en
prop-fr:site
prop-fr:titre
  • MATH 6723: Algebraic Number Theory
prop-fr:url
  • http://www.math.okstate.edu/~wrightd/6723
prop-fr:wikiPageUsesTemplate
dcterms:subject
rdfs:comment
  • En mathématiques, la théorie algébrique des nombres est la branche de l'arithmétique utilisant des outils issus de l'algèbre pour mieux comprendre les nombres. Son origine est l'étude des nombres entiers et particulièrement les équations diophantiennes. Pour en résoudre certaines, il est utile de considérer d'autres entiers, dits algébriques.
  • Algebraiczna teoria liczb - gałąź matematyki zajmująca się badaniem uogólnień pojęcia liczb wymiernych - liczbami algebraicznymi i ciałami liczbowymi.
  • 대수적 (정)수론(代數的(整)數論, 영어: algebraic number theory)은 수론의 한 분야로, 대수적 수(유리 계수 다항식의 근)의 성질을 다룬다. 유리수체의 유한 확장을 대수적 수체라고 하는데, 마치 유리수에 정수가 들어있는 것과 마찬가지로, 대수적 수체에는 대수적 정수가 들어있다. 단, 정수에서 성립하는 유일 인수분해와 같은 성질들이 대수적 정수에 대해서도 언제나 성립하는 것은 아니다.
  • La teoria dels nombres algebraics és una branca de la teoria de nombres en què el concepte de nombre s'estén al de nombres algebraics que són les arrels dels polinomis no nuls amb coeficients racionals.
  • Algebraic number theory is a major branch of number theory that studies algebraic structures related to algebraic integers. This is generally accomplished by considering a ring of algebraic integers O in an algebraic number field K/Q, and studying their algebraic properties such as factorization, the behaviour of ideals, and field extensions. In this setting, the familiar features of the integers—such as unique factorization—need not hold.
  • Die algebraische Zahlentheorie ist ein Teilgebiet der Zahlentheorie, die wiederum ein Teilgebiet der Mathematik ist.Die algebraische Zahlentheorie geht über die ganzen bzw. rationalen Zahlen hinaus und betrachtet algebraische Zahlkörper, das sind endliche Erweiterungen der rationalen Zahlen. Elemente von Zahlkörpern sind Nullstellen von Polynomen mit rationalen Koeffizienten. Diese Zahlkörper enthalten den ganzen Zahlen analoge Teilmengen, die Ganzheitsringe.
  • In de wiskunde is de algebraïsche getaltheorie een belangrijke tak van de getaltheorie, die algebraïsche structuren bestudeert, die in verband staan met de algebraïsche gehele getallen.
  • La teoría de números algebraicos o teoría algebraica de números es una rama de la teoría de los números en la cual el concepto de número se expande a los números algebraicos, los cuales son las raíces de los polinomios con coeficientes racionales.Un campo de números algebraico es una extensión finita (algebraica) del campo de los números racionales.
  • Teoria algébrica dos números é um ramo da teoria dos números em que o conceito de número é expandido para o de número algébrico, que são raízes de polinômios com coeficientes racionais. Um corpo de números algébricos é uma extensão de corpo finita (e por isso algébrica) dos números racionais. Estes domínios contêm elementos análogos aos inteiros, os chamados inteiros algébricos. Nesta conformação, as propriedades familiares aos inteiros (e.g. fatoração única) não necessitam valer.
  • Алгебрична теория на числата е дял от теория на числата изучаващ алгебричните цели числа, използувайки набор средства от модерната абстрактна алгебра: теория на идеалите, разширения на Галоа, области на Дедекинд, теория на представянията и др. Методите на теорията се развиват през 19 век, до голяма степен породени от устрема за решение на последната теорема на Ферма.
rdfs:label
  • Théorie algébrique des nombres
  • Алгебраическая теория чисел
  • Algebraic number theory
  • Algebraiczna teoria liczb
  • Algebraische Zahlentheorie
  • Algebraïsche getaltheorie
  • Teoria algebrica dei numeri
  • Teoria algébrica dos números
  • Teoria de nombres algebraics
  • Teoría de números algebraicos
  • Алгебрична теория на числата
  • 대수적 수론
owl:sameAs
http://www.w3.org/ns/prov#wasDerivedFrom
foaf:isPrimaryTopicOf
is dbpedia-owl:wikiPageWikiLink of
is foaf:primaryTopic of