En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire et en analyse fonctionnelle, on désigne par théorème spectral plusieurs énoncés affirmant, pour certains endomorphismes, l'existence de décompositions privilégiées, utilisant en particulier l'existence de sous-espaces propres.Le cas le plus élémentaire concerne les matrices symétriques représentant les formes quadratiques en dimension finie ; le théorème spectral correspondant, démontré par Karl Weierstrass en 1858, affirme que ces matrices sont toutes diagonalisables dans les réels, par l'intermédiaire d'un changement de base orthonormée ; un exemple de conséquence géométrique de ce résultat est l'existence, pour les quadriques non dégénérées, de trois axes de symétrie orthogonaux, les axes principaux (en), mais il a d'autres conséquences importantes dans des domaines mathématiques variés (équations différentielles, classification des forme quadratiques, calcul numérique, statistiques) ainsi qu'en physique, pour des questions de mécanique générale du solide ou du point.La généralisation à la dimension infinie est l'objet de la théorie spectrale.

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  • En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire et en analyse fonctionnelle, on désigne par théorème spectral plusieurs énoncés affirmant, pour certains endomorphismes, l'existence de décompositions privilégiées, utilisant en particulier l'existence de sous-espaces propres.Le cas le plus élémentaire concerne les matrices symétriques représentant les formes quadratiques en dimension finie ; le théorème spectral correspondant, démontré par Karl Weierstrass en 1858, affirme que ces matrices sont toutes diagonalisables dans les réels, par l'intermédiaire d'un changement de base orthonormée ; un exemple de conséquence géométrique de ce résultat est l'existence, pour les quadriques non dégénérées, de trois axes de symétrie orthogonaux, les axes principaux (en), mais il a d'autres conséquences importantes dans des domaines mathématiques variés (équations différentielles, classification des forme quadratiques, calcul numérique, statistiques) ainsi qu'en physique, pour des questions de mécanique générale du solide ou du point.La généralisation à la dimension infinie est l'objet de la théorie spectrale. Elle est indispensable à la physique du XXe siècle, par exemple en mécanique quantique.
  • En matemàtiques, en particular en àlgebra lineal i anàlisi funcional, el teorema espectral fa referència a diferents resultats sobre operadors lineals o matriu. En termes generals, el teorema espectral proporciona les condicions sota les quals es pot diagonalitzar un operador o una matriu (és a dir, representar com una matriu diagonal en alguna base). Aquest concepte de diagonalització és bastant clar quan es tracten operadors en espais de dimensió finita, però requereix algunes modificacions per als operadors en espais de dimensió infinita. En general, el teorema espectral identifica una classe d'operadors lineals que poden ser modelats pels operadors de multiplicació. En un llenguatge més abstracte, el teorema espectral és un postulat sobre C*-àlgebres commutatives.Exemples d'operadors als quals s'aplica el teorema espectral són els operadors autoadjunts o de manera més general els operadors normals en espais de Hilbert.El teorema espectral també proporciona una descomposició canònica, anomenada la descomposició espectral o de valor propi, de l'espai vectorial subjacent en el qual l'operador actua.
  • 数学の、特に線型代数学や函数解析学の分野において、スペクトル定理(スペクトルていり、英: spectral theorem)とは、線型作用素あるいは行列に関する多くの結果である。大雑把に言うと、スペクトル定理は、作用素あるいは行列が対角化可能(すなわち、ある基底において対角行列として表現可能)となる条件を与えるものである。この対角化の概念は、有限次元空間上の作用素については比較的直ちに従うものであるが、無限次元空間上の作用素についてはいくつかの修正が必要となる。一般にスペクトル定理は、乗算作用素によって出来る限り簡単にモデル化される線型作用素のクラスを明らかにするものである。より抽象的に、スペクトル定理は可換なC*-環に関して述べたものである。その歴史的観点については、スペクトル理論を参照されたい。スペクトル定理が適用できる作用素の例として、自己共役作用素や、より一般のヒルベルト空間上の正規作用素などがある。スペクトル定理はまた、スペクトル分解(spectral decomposition)や固有値分解(eigenvalue decomposition)、固有分解(eigendecomposition)と呼ばれるような、作用素の定義されるベクトル空間の正準分解を与えるものである。オーギュスタン=ルイ・コーシーは、自己随伴行列に関するスペクトル定理を証明した。すなわち、すべての実対称行列は対角化可能であることを証明した。その定理のジョン・フォン・ノイマンによる一般化は、今日の作用素論におけるもっとも重要な結果となっている。またコーシーは、行列式に関する系統的な理論を構築した第一人者である。この記事では主に、ヒルベルト空間上の自己共役作用素に関する、最も簡単な種類のスペクトル定理について述べる。しかし、上記のように、スペクトル定理はヒルベルト空間上の正規作用素についても成立するものである。
  • Unter dem Begriff Spektralsatz versteht man verschiedene miteinander verwandte mathematische Aussagen aus der Linearen Algebra und der Funktionalanalysis. Die einfachste Variante macht eine Aussage über die Diagonalisierbarkeit einer bestimmten Klasse von Matrizen. Die weiteren hier betrachteten Spektralsätze übertragen dieses Prinzip auf Operatoren zwischen unendlichdimensionalen Räumen. Der Name leitet sich vom „Spektrum“ der Eigenwerte her.
  • En matemáticas, y más especialmente en álgebra lineal y análisis funcional, el teorema de descomposición espectral, o más brevemente teorema espectral, expresa las condiciones bajo las cuales un operador o una matriz pueden ser diagonalizados (es decir, representadas como una matriz diagonal en alguna base). Se identifica así, un tipo de operadores lineales que pueden representarse como una multiplicación de operadores.Ejemplos de los operadores a los que se aplica este teorema son los operadores autoadjuntos, o más en general, los operadores normales en espacios de Hilbert.El Teorema Espectral, proporciona además, una descomposición canónica (llamada descomposición espectral) del espacio vectorial sobre el cual actúa el operador.
  • Os teoremas espectrais são fundamentais na álgebra linear, por garantirem a existência de uma base ortonormal de autovectores para alguns tipos de operadores. Isto implica que o operador seja diagonalizável, o que facilita bastante os cálculos.
  • In mathematics, particularly linear algebra and functional analysis, the spectral theorem is any of a number of results about linear operators or about matrices. In broad terms the spectral theorem provides conditions under which an operator or a matrix can be diagonalized (that is, represented as a diagonal matrix in some basis). This concept of diagonalization is relatively straightforward for operators on finite-dimensional spaces, but requires some modification for operators on infinite-dimensional spaces. In general, the spectral theorem identifies a class of linear operators that can be modelled by multiplication operators, which are as simple as one can hope to find. In more abstract language, the spectral theorem is a statement about commutative C*-algebras. See also spectral theory for a historical perspective.Examples of operators to which the spectral theorem applies are self-adjoint operators or more generally normal operators on Hilbert spaces.The spectral theorem also provides a canonical decomposition, called the spectral decomposition, eigenvalue decomposition, or eigendecomposition, of the underlying vector space on which the operator acts.Augustin Louis Cauchy proved the spectral theorem for self-adjoint matrices, i.e., that every real, symmetric matrix is diagonalizable. The spectral theorem as generalized by John von Neumann is today the most important result of operator theory. In addition, Cauchy was the first to be systematic about determinants.In this article we consider mainly the simplest kind of spectral theorem, that for a self-adjoint operator on a Hilbert space. However, as noted above, the spectral theorem also holds for normal operators on a Hilbert space.
  • In de wiskunde, met name de lineaire algebra en de functionaalanalyse, is de spectraalstelling een van een aantal van de resultaten over lineaire operatoren of over matrices. In ruime zin geeft de spectraalstelling voorwaarden onder welke een operator of een matrix kan worden gediagonaliseerd (dat wil zeggen in enige basis kan worden weergegeven als een diagonaalmatrix). Dit concept van diagonaliseerbaarheid is relatief eenvoudig voor operatoren op eindig-dimensionale ruimten, maar vereist enige aanpassing voor operatoren op oneindig-dimensionale ruimten. In het algemeen identificeert de spectraalstelling een klasse van lineaire operatoren, die kunnen worden gemodelleerd door multiplicatieve operatoren, de eenvoudigste klasse van operatoren om te vinden. In meer abstracte taal is de spectraalstelling een bewering over commutatieve C*-algebra's. Voorbeelden van operators, waarop de spectraalstelling van toepassing is, zijn zelftoegevoegde operatoren of meer in het algemeen normale operatoren op Hilbertruimten. De spectraalstelling voorziet ook in een kanonieke decompositie, de zogenaamde spectraaldecompositie, eigenwaarde decompositie of eigendecompositie van de onderliggende vectorruimte, waarop de operator inwerkt. De eenvoudigste vorm van de spectraalstelling is die voor een zelftoegevoegde operator op een Hilbertruimte. De spectraalstelling houdt echter, zoals hierboven vermeld, ook voor normale operatoren op een Hilbertruimte.
  • In algebra lineare e analisi funzionale il teorema spettrale si riferisce a una serie di risultati relativi agli operatori lineari oppure alle matrici. In termini generali il teorema spettrale fornisce condizioni sotto le quali un operatore o una matrice possono essere diagonalizzati, cioè rappresentati da una matrice diagonale in una certa base. In dimensione finita, il teorema spettrale asserisce che ogni endomorfismo simmetrico di uno spazio vettoriale reale dotato di un prodotto scalare ha una base ortonormale formata da autovettori. Equivalentemente, ogni matrice simmetrica reale è simile ad una matrice diagonale tramite una matrice ortogonale.In dimensione infinita esistono diverse formulazioni. In quella che utilizza gli operatori di moltiplicazione, stabilisce che ogni operatore di moltiplicazione è un operatore autoaggiunto (densamente definito), ed ogni operatore autoaggiunto è unitariamente equivalente ad un operatore di moltiplicazione.Il teorema spettrale fornisce anche una decomposizione canonica dello spazio vettoriale, chiamata decomposizione spettrale o decomposizione agli autovalori.
  • Twierdzenie spektralne – wspólna nazwa twierdzeń w algebrze liniowej i analizie funkcjonalnej uogólniających twierdzenie teorii macierzy mówiące, żeKażda macierz normalna może zostać zdiagonalizowana (przy pomocy odpowiedniej macierzy przejścia).Ściślej, jeżeli traktujemy macierz normalną jako macierz pewnego endomorfizmu przestrzeni euklidesowej, to można znaleźć bazę ortonormalną tej przestrzeni, w której macierz ta będzie diagonalna. Twierdzenia spektralne uogólniają ten fakt na przestrzenie nieskończenie wymiarowe z punktu widzenia algebry i analizy funkcjonalnej.
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  • En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire et en analyse fonctionnelle, on désigne par théorème spectral plusieurs énoncés affirmant, pour certains endomorphismes, l'existence de décompositions privilégiées, utilisant en particulier l'existence de sous-espaces propres.Le cas le plus élémentaire concerne les matrices symétriques représentant les formes quadratiques en dimension finie ; le théorème spectral correspondant, démontré par Karl Weierstrass en 1858, affirme que ces matrices sont toutes diagonalisables dans les réels, par l'intermédiaire d'un changement de base orthonormée ; un exemple de conséquence géométrique de ce résultat est l'existence, pour les quadriques non dégénérées, de trois axes de symétrie orthogonaux, les axes principaux (en), mais il a d'autres conséquences importantes dans des domaines mathématiques variés (équations différentielles, classification des forme quadratiques, calcul numérique, statistiques) ainsi qu'en physique, pour des questions de mécanique générale du solide ou du point.La généralisation à la dimension infinie est l'objet de la théorie spectrale.
  • 数学の、特に線型代数学や函数解析学の分野において、スペクトル定理(スペクトルていり、英: spectral theorem)とは、線型作用素あるいは行列に関する多くの結果である。大雑把に言うと、スペクトル定理は、作用素あるいは行列が対角化可能(すなわち、ある基底において対角行列として表現可能)となる条件を与えるものである。この対角化の概念は、有限次元空間上の作用素については比較的直ちに従うものであるが、無限次元空間上の作用素についてはいくつかの修正が必要となる。一般にスペクトル定理は、乗算作用素によって出来る限り簡単にモデル化される線型作用素のクラスを明らかにするものである。より抽象的に、スペクトル定理は可換なC*-環に関して述べたものである。その歴史的観点については、スペクトル理論を参照されたい。スペクトル定理が適用できる作用素の例として、自己共役作用素や、より一般のヒルベルト空間上の正規作用素などがある。スペクトル定理はまた、スペクトル分解(spectral decomposition)や固有値分解(eigenvalue decomposition)、固有分解(eigendecomposition)と呼ばれるような、作用素の定義されるベクトル空間の正準分解を与えるものである。オーギュスタン=ルイ・コーシーは、自己随伴行列に関するスペクトル定理を証明した。すなわち、すべての実対称行列は対角化可能であることを証明した。その定理のジョン・フォン・ノイマンによる一般化は、今日の作用素論におけるもっとも重要な結果となっている。またコーシーは、行列式に関する系統的な理論を構築した第一人者である。この記事では主に、ヒルベルト空間上の自己共役作用素に関する、最も簡単な種類のスペクトル定理について述べる。しかし、上記のように、スペクトル定理はヒルベルト空間上の正規作用素についても成立するものである。
  • Unter dem Begriff Spektralsatz versteht man verschiedene miteinander verwandte mathematische Aussagen aus der Linearen Algebra und der Funktionalanalysis. Die einfachste Variante macht eine Aussage über die Diagonalisierbarkeit einer bestimmten Klasse von Matrizen. Die weiteren hier betrachteten Spektralsätze übertragen dieses Prinzip auf Operatoren zwischen unendlichdimensionalen Räumen. Der Name leitet sich vom „Spektrum“ der Eigenwerte her.
  • Os teoremas espectrais são fundamentais na álgebra linear, por garantirem a existência de uma base ortonormal de autovectores para alguns tipos de operadores. Isto implica que o operador seja diagonalizável, o que facilita bastante os cálculos.
  • In de wiskunde, met name de lineaire algebra en de functionaalanalyse, is de spectraalstelling een van een aantal van de resultaten over lineaire operatoren of over matrices. In ruime zin geeft de spectraalstelling voorwaarden onder welke een operator of een matrix kan worden gediagonaliseerd (dat wil zeggen in enige basis kan worden weergegeven als een diagonaalmatrix).
  • Twierdzenie spektralne – wspólna nazwa twierdzeń w algebrze liniowej i analizie funkcjonalnej uogólniających twierdzenie teorii macierzy mówiące, żeKażda macierz normalna może zostać zdiagonalizowana (przy pomocy odpowiedniej macierzy przejścia).Ściślej, jeżeli traktujemy macierz normalną jako macierz pewnego endomorfizmu przestrzeni euklidesowej, to można znaleźć bazę ortonormalną tej przestrzeni, w której macierz ta będzie diagonalna.
  • In mathematics, particularly linear algebra and functional analysis, the spectral theorem is any of a number of results about linear operators or about matrices. In broad terms the spectral theorem provides conditions under which an operator or a matrix can be diagonalized (that is, represented as a diagonal matrix in some basis).
  • En matemàtiques, en particular en àlgebra lineal i anàlisi funcional, el teorema espectral fa referència a diferents resultats sobre operadors lineals o matriu. En termes generals, el teorema espectral proporciona les condicions sota les quals es pot diagonalitzar un operador o una matriu (és a dir, representar com una matriu diagonal en alguna base).
  • In algebra lineare e analisi funzionale il teorema spettrale si riferisce a una serie di risultati relativi agli operatori lineari oppure alle matrici. In termini generali il teorema spettrale fornisce condizioni sotto le quali un operatore o una matrice possono essere diagonalizzati, cioè rappresentati da una matrice diagonale in una certa base.
  • En matemáticas, y más especialmente en álgebra lineal y análisis funcional, el teorema de descomposición espectral, o más brevemente teorema espectral, expresa las condiciones bajo las cuales un operador o una matriz pueden ser diagonalizados (es decir, representadas como una matriz diagonal en alguna base).
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  • Théorème spectral
  • Spectraalstelling
  • Spectral theorem
  • Spektralsatz
  • Teorema de descomposición espectral
  • Teorema espectral
  • Teorema spettrale
  • Teoremas espectrais
  • Twierdzenie spektralne
  • Спектральная теорема
  • スペクトル定理
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