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  • En mathématiques, et en particulier en arithmétique élémentaire, le théorème fondamental de l'arithmétique ou théorème de décomposition en produit de facteurs premiers ou théorème de factorisation unique s'énonce ainsi : tout entier strictement positif peut être écrit comme un produit de nombres premiers d'une unique façon, à l'ordre près des facteurs.Par exemple, nous pouvons écrire que : 6 936 = 23 × 3 × 172 ou encore 1 200 = 24 × 3 × 52 et il n'existe aucune autre factorisation de 6 936 ou 1 200 sous forme de produits de nombres premiers, excepté par réarrangement des facteurs ci-dessus.Le nombre 1 est le produit de zéro nombre premier (voir produit vide), de sorte que le théorème est aussi vrai pour 1.Ce résultat se généralise à d'autres ensembles : les anneaux factoriels, comme celui des polynômes à coefficients dans les nombres réels ou complexes (cf. « Arithmétique des polynômes »).
  • 算術の基本定理(さんじゅつのきほんていり、英: fundamental theorem of arithmetic)または素因数分解の一意性(そいんすうぶんかいのいちいせい、英: unique factorization theorem)は、「全ての自然数は素数の積として(積の順番の違いを除いて)ただ一通りに表すことができる」という算術(初等整数論)における定理である。例えば 120 は 2 × 2 × 2 × 3 × 5 と素因数分解され、素数の順序を無視して、これ以外の素数の積として表すことはできない。算術の基本定理の主張が、任意の自然数について「素数の積に分解される(素因数分解の存在)」という主張と「素因数分解があれば一意に決まる(分解の一意性)」という主張の大きく二つの部分からなっていることに留意すべきである。なぜならば、分解の存在は比較的素直に示せるのに対して、一意性の証明はそれよりも多少高度な論証を要するからである。一意性の証明にはいくつかの方法があるが、多くは以下の事実(ユークリッドの補題) — エウクレイデス、『原論』第7巻命題30を用いると証明の筋が見やすい。しかも、ある別証明が直接的にこの補題を用いていないように見えても、どこかで補題(と除法の原理などの自然数の性質を組み合わせたもの)に同値な内容が含まれることになるのは、実は避けられない。また、素数の積としての順番を考慮しないのは、自然数が積に関して交換法則と結合法則を満たすことによる。そして通常は見易さを考慮して、素因数を最も小さいものから順に並べて、大きいものは最後にする。この定理の整数の場合への自然な一般化は「0 以外の任意の整数は、素数と単数の積として因子の順番の違いを除いて一意に表される」である(この意味において「整数に対して算術の基本定理が成立する」と言うことができる)。同様の主張はもっと一般の環などにおいても(成り立つか成り立たないかを考えることができるという意味で)意味を持つけれども、必ずしも成立はしない。
  • Il teorema fondamentale dell'aritmetica afferma che Ogni numero naturale maggiore di 1 o è un numero primo o si può esprimere come prodotto di numeri primi. Tale rappresentazione è unica, se si prescinde dall'ordine in cui compaiono i fattori.L'enunciato è facilmente verificabile per numeri naturali "piccoli": è facile scoprire che 70 è pari a 2×5×7 e 100 equivale a 2×2×5×5 ovvero 22×52, è altrettanto facile verificare che per questi numeri non possono esistere altre scomposizioni in fattori primi. Il teorema fu dimostrato esplicitamente per la prima volta da Gauss nelle Disquisitiones Arithmeticae; Euclide, negli Elementi, insieme all'esistenza della fattorizzazione, aveva dimostrato una proposizione, oggi nota come lemma di Euclide, dalla quale si ricava la proprietà di fattorizzazione unica.Nella teoria degli anelli, la validità della proprietà espressa dal teorema costituisce la definizione stessa di anello a fattorizzazione unica.
  • Základní věta aritmetiky je matematická věta z oboru aritmetiky, která tvrdí, že každé přirozené číslo větší než 1 lze jednoznačně rozložit na součin prvočísel.
  • El teorema fonamental de l'aritmètica afirma queAquesta expressió d'un enter com a producte de nombres primers s'anomena factorització. Per exemple:6936 = 23 · 3 · 172 o 1200 = 24 · 3 · 52i cap altra factorització d'aquests nombres és possible. Aquest procés demostra que els primers es poden considerar els elements bàsics a partir dels quals es construeixen tots els enters; en concret, ens dóna un coneixement complet de tots els factors d'un nombre. Per exemple, en el cas del 6936, de la factorització anterior, que recordem que és única, sabem que tots els possibles factors (no primers) de 6936 són:2a · 3b · 17camb [0 ≤ a ≤ 3], [0 ≤ b ≤ 1] i [0 ≤ c ≤ 2]. Això dóna un total de 4 · 2 · 3 = 24 factors
  • O Teorema Fundamental da Aritmética sustenta que todos os números inteiros positivos maiores que 1 podem ser decompostos num produto de números primos, sendo esta decomposição única a menos de permutações dos fatores.Este teorema foi exposto, pela primeira vez, no livro IX dos Elementos de Euclides.
  • Podstawowe twierdzenie arytmetyki – ważne twierdzenie teorii liczb o rozkładzie liczb naturalnych na czynniki pierwsze.
  • Aritmetiğin temel teoremi i) Birden büyük her doğal sayı, sonlu sayıda birtakım asal sayının çarpımı olarak yazılabileceğini ifade eden teoremdir. ii) Bu ayrılış ise sıra düşünülmeksizin tektir.
  • In number theory, the fundamental theorem of arithmetic, also called the unique factorization theorem or the unique-prime-factorization theorem, states that every integer greater than 1 either is prime itself or is the product of prime numbers, and that, although the order of the primes in the second case is arbitrary, the primes themselves are not. For example,1200 = 24 × 31 × 52 = 3 × 2× 2× 2× 2 × 5 × 5 = 5 × 2× 3× 2× 5 × 2 × 2 = etc.The theorem is stating two things: first, that 1200 can be represented as a product of primes, and second, no matter how this is done, there will always be four 2s, one 3, two 5s, and no other primes in the product.The requirement that the factors be prime is necessary: factorizations containing composite numbers may not be unique (e.g. 12 = 2 × 6 = 3 × 4).
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  • En mathématiques, et en particulier en arithmétique élémentaire, le théorème fondamental de l'arithmétique ou théorème de décomposition en produit de facteurs premiers ou théorème de factorisation unique s'énonce ainsi : tout entier strictement positif peut être écrit comme un produit de nombres premiers d'une unique façon, à l'ordre près des facteurs.Par exemple, nous pouvons écrire que : 6 936 = 23 × 3 × 172 ou encore 1 200 = 24 × 3 × 52 et il n'existe aucune autre factorisation de 6 936 ou 1 200 sous forme de produits de nombres premiers, excepté par réarrangement des facteurs ci-dessus.Le nombre 1 est le produit de zéro nombre premier (voir produit vide), de sorte que le théorème est aussi vrai pour 1.Ce résultat se généralise à d'autres ensembles : les anneaux factoriels, comme celui des polynômes à coefficients dans les nombres réels ou complexes (cf.
  • 算術の基本定理(さんじゅつのきほんていり、英: fundamental theorem of arithmetic)または素因数分解の一意性(そいんすうぶんかいのいちいせい、英: unique factorization theorem)は、「全ての自然数は素数の積として(積の順番の違いを除いて)ただ一通りに表すことができる」という算術(初等整数論)における定理である。例えば 120 は 2 × 2 × 2 × 3 × 5 と素因数分解され、素数の順序を無視して、これ以外の素数の積として表すことはできない。算術の基本定理の主張が、任意の自然数について「素数の積に分解される(素因数分解の存在)」という主張と「素因数分解があれば一意に決まる(分解の一意性)」という主張の大きく二つの部分からなっていることに留意すべきである。なぜならば、分解の存在は比較的素直に示せるのに対して、一意性の証明はそれよりも多少高度な論証を要するからである。一意性の証明にはいくつかの方法があるが、多くは以下の事実(ユークリッドの補題) — エウクレイデス、『原論』第7巻命題30を用いると証明の筋が見やすい。しかも、ある別証明が直接的にこの補題を用いていないように見えても、どこかで補題(と除法の原理などの自然数の性質を組み合わせたもの)に同値な内容が含まれることになるのは、実は避けられない。また、素数の積としての順番を考慮しないのは、自然数が積に関して交換法則と結合法則を満たすことによる。そして通常は見易さを考慮して、素因数を最も小さいものから順に並べて、大きいものは最後にする。この定理の整数の場合への自然な一般化は「0 以外の任意の整数は、素数と単数の積として因子の順番の違いを除いて一意に表される」である(この意味において「整数に対して算術の基本定理が成立する」と言うことができる)。同様の主張はもっと一般の環などにおいても(成り立つか成り立たないかを考えることができるという意味で)意味を持つけれども、必ずしも成立はしない。
  • Základní věta aritmetiky je matematická věta z oboru aritmetiky, která tvrdí, že každé přirozené číslo větší než 1 lze jednoznačně rozložit na součin prvočísel.
  • O Teorema Fundamental da Aritmética sustenta que todos os números inteiros positivos maiores que 1 podem ser decompostos num produto de números primos, sendo esta decomposição única a menos de permutações dos fatores.Este teorema foi exposto, pela primeira vez, no livro IX dos Elementos de Euclides.
  • Podstawowe twierdzenie arytmetyki – ważne twierdzenie teorii liczb o rozkładzie liczb naturalnych na czynniki pierwsze.
  • Aritmetiğin temel teoremi i) Birden büyük her doğal sayı, sonlu sayıda birtakım asal sayının çarpımı olarak yazılabileceğini ifade eden teoremdir. ii) Bu ayrılış ise sıra düşünülmeksizin tektir.
  • In number theory, the fundamental theorem of arithmetic, also called the unique factorization theorem or the unique-prime-factorization theorem, states that every integer greater than 1 either is prime itself or is the product of prime numbers, and that, although the order of the primes in the second case is arbitrary, the primes themselves are not.
  • El teorema fonamental de l'aritmètica afirma queAquesta expressió d'un enter com a producte de nombres primers s'anomena factorització. Per exemple:6936 = 23 · 3 · 172 o 1200 = 24 · 3 · 52i cap altra factorització d'aquests nombres és possible. Aquest procés demostra que els primers es poden considerar els elements bàsics a partir dels quals es construeixen tots els enters; en concret, ens dóna un coneixement complet de tots els factors d'un nombre.
  • Il teorema fondamentale dell'aritmetica afferma che Ogni numero naturale maggiore di 1 o è un numero primo o si può esprimere come prodotto di numeri primi.
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  • Théorème fondamental de l'arithmétique
  • A számelmélet alaptétele
  • Aritmetiğin temel teoremi
  • Fundamental theorem of arithmetic
  • Hoofdstelling van de rekenkunde
  • Podstawowe twierdzenie arytmetyki
  • Teorema fonamental de l'aritmètica
  • Teorema fondamentale dell'aritmetica
  • Teorema fundamental da aritmética
  • Teorema fundamental de la aritmética
  • Základní věta aritmetiky
  • Основная теорема арифметики
  • Основна теорема на аритметиката
  • 算術の基本定理
  • 산술의 기본 정리
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