En mathématiques, le théorème des deux carrés de Fermat énonce les conditions pour qu’un nombre entier soit la somme de deux carrés parfaits (c'est-à-dire de deux carrés d’entiers) et précise de combien de façons différentes il peut l’être.

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  • En mathématiques, le théorème des deux carrés de Fermat énonce les conditions pour qu’un nombre entier soit la somme de deux carrés parfaits (c'est-à-dire de deux carrés d’entiers) et précise de combien de façons différentes il peut l’être. Par exemple, selon ce théorème, un nombre premier impair (c'est-à-dire tous les nombres premiers sauf 2) est une somme de deux carrés parfaits si et seulement si le reste de sa division euclidienne par 4 est 1 ; dans ce cas, les carrés sont déterminés de manière unique. On peut le vérifier sur 17 (= 4 × 4 + 1) ou 97 (= 24 × 4 + 1), qui sont bien tous deux d’une seule façon une somme de deux carrés (17 = 12 + 42 et 97 = 92 + 42), alors que des nombres premiers comme 7 (= 4 × 1 + 3) ou 31 (= 4 × 7 + 3) ne sont pas des sommes de deux carrés. Ce résultat est parfois nommé simplement théorème des deux carrés ou bien encore théorème de Fermat de Noël.Il s’inscrit dans la longue histoire de la représentation de nombres comme sommes de carrés qui remonte à l’Antiquité. Il est explicité par Pierre de Fermat au XVIIe siècle, mais la première preuve publiée connue est l'œuvre de Leonhard Euler un siècle plus tard. Sa démonstration ne clôt pas les interrogations. Des nouvelles preuves et diverses généralisations sont proposées au cours des siècles suivants. Elles ont joué un rôle important dans le développement d’une branche des mathématiques appelée théorie algébrique des nombres.À l'instar de beaucoup d'équations diophantiennes, c’est-à-dire d’équations dont les coefficients et les solutions cherchées sont des nombres entiers ou fractionnaires, la simplicité de l'énoncé cache une difficulté réelle de démonstration. Certaines des preuves proposées ont aidé à la mise au point d'outils parfois sophistiqués, comme les courbes elliptiques ou la géométrie des nombres, liant ainsi la théorie des nombres élémentaire à d’autres branches des mathématiques.
  • En teoría de números, el teorema de Fermat sobre la suma de dos cuadrados establece la relación que hay entre los números primos representables como suma de dos cuadrados. En concreto, el teorema dice lo siguiente:O sea, p = x2+y2, donde x e y son números enteros si p =4k+1 para algún k entero, o escrito en notación moderna, p ≡ 1 (mod 4) (véase aritmética modular).El teorema es también conocido como lema de Thue, debido al matemático noruego Axel Thue.
  • この記事は「平方数」、「多角数定理」などの補遺に当たる。ここに示す事実は古くから知られているものであるが呼びかたが定まっておらず、フェルマーの4n+1定理、フェルマーの二平方定理、あるいは単にフェルマーの定理(フェルマーの最終定理とは異なる)などと呼ばれる。4を法として1に合同な素数は二個の平方数の和で表される。合成数が高々二個の平方数の和で表されるための必要十分条件は、4を法として3に合同な素因数が全て平方(冪指数が偶数)になっていることである。この定理は、フェルマーによって提起され、オイラーによって解決された。
  • In additive number theory, Pierre de Fermat's theorem on sums of two squares states that an odd prime p is expressible aswith x and y integers, if and only ifFor example, the primes 5, 13, 17, 29, 37 and 41 are all congruent to 1 modulo 4, and they can be expressed as sums of two squares in the following ways:On the other hand, the primes 3, 7, 11, 19, 23 and 31 are all congruent to 3 modulo 4, and none of them can be expressed as the sum of two squares.Albert Girard was the first to make the observation (in 1632) and Fermat was first to claim a proof of it.Fermat announced this theorem in a letter to Marin Mersenne dated December 25, 1640; for this reason this theorem is sometimes called Fermat's Christmas Theorem.Since the Brahmagupta–Fibonacci identity implies that the product of two integers that can be written as the sum of two squares is itself expressible as the sum of two squares, by applying Fermat's theorem to the prime factorization of any positive integer n, we see that if all of n's odd prime factors congruent to 3 modulo 4 occur to an even exponent, it is expressible as a sum of two squares. The converse also holds.
  • A Fermat-tól eredő kétnégyzetszám-tétel a számelmélet egyik fontos tétele, aminek számos, igen különböző bizonyítása ismert.
  • En matemàtiques, el teorema dels dos quadrats de Fermat enuncia les condicions perquè un nombre enter sigui la suma de dos quadrats d'enters, i precisa de quantes maneres diferents ho pot ser. Per exemple, segons aquest teorema, un nombre primer senar és la suma de dos quadrats d'enters si i només si el residu de la seva divisió euclidiana entre 4 és 1; en aquest cas, els quadrats queden determinats de manera única. Es pot verificar sobre 17 (= 4 × 4 + 1) o 97 (= 4 × 24 + 1), que tots dos es poden expressar d'una única manera com una suma de dos quadrats (17 = 1² + 4² i 97 = 9² + 4²); també, que nombres primers, com 7 (= 4 × 1 + 3) o 31 (= 4 × 7 + 3), no es poden pas expressar com a suma de dos quadrats. Aquest resultat de vegades s'anomena simplement teorema dels dos quadrats o també teorema de Fermat de Nadal.S'inscriu en la llarga història de la representació de nombres com a suma de quadrats que es remunta a l'antiguitat. Fou expressat de forma explícita per Pierre de Fermat (1601-1665) al segle XVII, però la primera prova publicada coneguda és l'obra de Leonhard Euler, un segle més tard. La seva demostració no tanca pas els interrogants. En el transcurs dels segles posteriors es proposaren noves proves i diverses generalitzacions. Aquestes contribucions han jugat un paper important en el desenvolupament de la branca de les matemàtiques anomenada teoria algebraica dels nombres.A semblança de moltes equacions diofàntiques, és a dir, d'equacions en les quals els coeficients i les solucions buscades són nombres enters o racionals, la simplicitat de l'enunciat amaga una dificultat real en la seva demostració. Algunes de les proves proposades han ajudat a la posada a punt d'eines de vegades sofisticades, com les corbes el·líptiques o la geometria dels nombres, relacionant així la teoria dels nombres elemental amb altres branques de les matemàtiques.
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  • Le petit théorème de Fermat montre que si x est un entier non divisible par le nombre premier p, alors x – 1 est un multiple de p, ou encore, en notant n l'entier tel que p = 4n + 1 : est un multiple de p. Comme p est premier, l'un des deux facteurs est un multiple de p. Il suffit de trouver un entier a strictement compris entre 0 et p tel que a – 1 n'est pas un multiple de p, alors a + 1 l'est nécessairement et a est la solution recherchée. * Démonstration à base d'arithmétique modulaire : Dans le corps commutatif ℤ/pℤ, le polynôme X – 1 a au plus 2n racines, soit moins que 4n, le nombre d'éléments non nuls du corps. Il existe donc un entier a vérifiant les conditions voulues. * Démonstration sans arithmétique modulaire : Considérons la suite de polynômes Q définie par récurrence de la manière suivante : Pour tout entier i compris entre 1 et 2n, le polynôme Q est de degré 2n – i et son coefficient dominant est égal à … . En particulier, Q = (2n)!. Comme p est premier et supérieur à 2n, il n'est pas diviseur de !. Or Q est combinaison linéaire à coefficients entiers des entiers Q, Q, … , Q. L'une au moins de ces valeurs est donc non multiple de p, ce qui termine la démonstration. * Variante : L'existence d'un entier a tel que a – a n'est pas un multiple de p peut aussi se démontrer en vérifiant que le polynôme suivant n'est pas « à valeurs entières » (sur tous les entiers) : Par identification des coefficients dominants, c = !/p. Comme p est premier et supérieur à 2n + 1, il n'est pas diviseur de ! donc c n'est pas un entier. Soit alors a le plus petit indice k > 0 pour lequel c n'est pas un entier. Comme les polynômes P sont à valeurs entières,
  • * Si un entier n, somme de deux carrés, est divisible par un nombre premier p, somme de deux carrés, alors le quotient est lui-même somme de deux carrés ; si de plus n p, alors les paires de carrés dans n et p sont les mêmes. Notons n = a + b et p = c + d, où a, b, c et d sont des entiers positifs. Si p divise n, alors il divise aussi : Si de plus l'entier p est un nombre premier, le lemme d'Euclide indique qu'il divise l'un des deux facteurs. Si ad – bc est divisible par p, c'est-à-dire s'il existe un entier e tel que ad – bc = ep, on procède de la manière suivante. L'identité de Brahmagupta indique que : ce qui montre qu'il existe un entier f tel que ac + bd = fp et, en divisant par p, l'égalité devient : En particulier si n = p alors e + f = 1 et comme p est premier donc non carré, les quatre entiers naturels a, b, c et d sont non nuls donc f est non nul, d'où e = 0. Le rationnel positif λ = c/a = d/b vérifie alors : p = c + d = λ = λp, donc λ = 1, c = a et d = b. Si c'est ad + bc qui est divisible par p, un argument de même nature peut être utilisé avec qui est une autre forme de l'identité de Brahmagupta. Dans le cas n = p, on trouve cette fois que c = b et d = a. * Si un nombre n, somme de deux carrés, est divisible par un nombre m qui n'est pas somme de deux carrés, alors le quotient q contient un facteur qui n'est pas somme de deux carrés. Notons q = q'q … q la décomposition du quotient en facteurs premiers. Alors n = mq'q … q. Si chaque facteur q est somme de deux carrés, la proposition précédente montre qu'il est possible de diviser n successivement par chaque q et d'obtenir chaque fois un entier somme de deux carrés. Ce raisonnement montre que m est alors somme de deux carrés. La contraposée montre que si m n'est pas somme de deux carrés, alors au moins un q n'est pas somme de deux carrés.
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  • Diophante-Ver Ecke
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  • Carl Friedrich Gauss
  • Catherine Goldstein
  • Pierre de Fermat
  • Leonard Eugene Dickson
  • Édouard Lucas
  • André Weil
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  • Bulletin de la Société d'émulation de l'Allier
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  • Référence:Histoire de la théorie des nombres
  • Référence:Théorie des nombres à travers l'histoire
prop-fr:titre
  • Œuvres complètes
  • History of the Theory of Numbers
  • Détail de la démonstration du lemme
  • Détails des démonstrations
  • Les six livres arithmétiques
  • Primes of the Form x+ny
  • Recherches arithmétiques
  • Un théorème de Fermat et ses lecteurs
  • Recherches sur l'analyse indéterminée et l'arithmétique de Diophante
  • Number Theory: An Approach through History, from Hammurapi to Legendre
  • Démonstrations avec et sans arithmétique modulaire
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  • A.-C.-M. Poullet-Delisle
  • P. Ver Ecke
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  • En mathématiques, le théorème des deux carrés de Fermat énonce les conditions pour qu’un nombre entier soit la somme de deux carrés parfaits (c'est-à-dire de deux carrés d’entiers) et précise de combien de façons différentes il peut l’être.
  • En teoría de números, el teorema de Fermat sobre la suma de dos cuadrados establece la relación que hay entre los números primos representables como suma de dos cuadrados. En concreto, el teorema dice lo siguiente:O sea, p = x2+y2, donde x e y son números enteros si p =4k+1 para algún k entero, o escrito en notación moderna, p ≡ 1 (mod 4) (véase aritmética modular).El teorema es también conocido como lema de Thue, debido al matemático noruego Axel Thue.
  • この記事は「平方数」、「多角数定理」などの補遺に当たる。ここに示す事実は古くから知られているものであるが呼びかたが定まっておらず、フェルマーの4n+1定理、フェルマーの二平方定理、あるいは単にフェルマーの定理(フェルマーの最終定理とは異なる)などと呼ばれる。4を法として1に合同な素数は二個の平方数の和で表される。合成数が高々二個の平方数の和で表されるための必要十分条件は、4を法として3に合同な素因数が全て平方(冪指数が偶数)になっていることである。この定理は、フェルマーによって提起され、オイラーによって解決された。
  • A Fermat-tól eredő kétnégyzetszám-tétel a számelmélet egyik fontos tétele, aminek számos, igen különböző bizonyítása ismert.
  • En matemàtiques, el teorema dels dos quadrats de Fermat enuncia les condicions perquè un nombre enter sigui la suma de dos quadrats d'enters, i precisa de quantes maneres diferents ho pot ser. Per exemple, segons aquest teorema, un nombre primer senar és la suma de dos quadrats d'enters si i només si el residu de la seva divisió euclidiana entre 4 és 1; en aquest cas, els quadrats queden determinats de manera única.
  • In additive number theory, Pierre de Fermat's theorem on sums of two squares states that an odd prime p is expressible aswith x and y integers, if and only ifFor example, the primes 5, 13, 17, 29, 37 and 41 are all congruent to 1 modulo 4, and they can be expressed as sums of two squares in the following ways:On the other hand, the primes 3, 7, 11, 19, 23 and 31 are all congruent to 3 modulo 4, and none of them can be expressed as the sum of two squares.Albert Girard was the first to make the observation (in 1632) and Fermat was first to claim a proof of it.Fermat announced this theorem in a letter to Marin Mersenne dated December 25, 1640; for this reason this theorem is sometimes called Fermat's Christmas Theorem.Since the Brahmagupta–Fibonacci identity implies that the product of two integers that can be written as the sum of two squares is itself expressible as the sum of two squares, by applying Fermat's theorem to the prime factorization of any positive integer n, we see that if all of n's odd prime factors congruent to 3 modulo 4 occur to an even exponent, it is expressible as a sum of two squares.
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  • Théorème des deux carrés de Fermat
  • Fermat's theorem on sums of two squares
  • Kétnégyzetszám-tétel
  • Stelling van Fermat over de som van twee kwadraten
  • Teorema de Fermat sobre la suma de dos cuadrados
  • Teorema de la suma de dos quadrats
  • Teorema di Fermat sulle somme di due quadrati
  • Twierdzenie Fermata o sumie dwóch kwadratów
  • Теорема Ферма — Эйлера
  • 二個の平方数の和
  • 페르마의 두 제곱수 정리
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