En mathématiques, le théorème de la boule chevelue est un résultat de topologie différentielle. Il s'applique à une sphère supportant en chaque point un vecteur, imaginé comme un cheveu, tangent à la surface.

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  • En mathématiques, le théorème de la boule chevelue est un résultat de topologie différentielle. Il s'applique à une sphère supportant en chaque point un vecteur, imaginé comme un cheveu, tangent à la surface. Il affirme que la fonction associant à chaque point de la sphère le vecteur admet au moins un point de discontinuité, ce qui revient à dire que la coiffure contient un épi, ou qu'il y a des cheveux nuls, c'est-à-dire de la calvitie.De manière plus rigoureuse, un champ de vecteurs continu sur une sphère de dimension paire au moins égale à 2 s'annule en au moins un point.Ce théorème est démontré pour la première fois par Luitzen Egbertus Jan Brouwer en 1912. Cette approche généralise des résultats démontrés par le passé comme le théorème de Jordan ou les travaux de Leopold Kronecker sur les fonctions continûment différentiables de la sphère réelle de dimension n - 1 dans un espace vectoriel de dimension n.Ces résultats, qui intuitivement se comprennent aisément, imposent, pour une démonstration rigoureuse, des développements parfois techniques. Un exemple archétypal de résultat de même nature est le théorème du point fixe de Brouwer. Il énonce que toute application continue d'une boule fermée d'un espace vectoriel euclidien de dimension finie dans elle-même admet un point fixe. Le théorème de point fixe de Brouwer peut être déduit du théorème de la boule chevelue.
  • The hairy ball theorem of algebraic topology states that there is no nonvanishing continuous tangent vector field on even-dimensional n-spheres. For the ordinary sphere, or 2‑sphere, if f is a continuous function that assigns a vector in R3 to every point p on a sphere such that f(p) is always tangent to the sphere at p, then there is at least one p such that f(p) = 0. In other words, whenever one attempts to comb a hairy ball flat, there will always be at least one tuft of hair at one point on the ball. The theorem was first stated by Henri Poincaré in the late 19th century.This is famously stated as "you can't comb a hairy ball flat without creating a cowlick", or sometimes "you can't comb the hair on a coconut". It can also be written as, "Any smooth vector field on a sphere has a singular point." It was first proved in 1912 by Brouwer.
  • Der Satz vom Igel (auch als Satz vom gekämmten Igel bekannt, im Englischen hairy ball theorem) oder Problem des globalen Windes ist ein Resultat aus dem mathematischen Teilgebiet der Differentialtopologie. Diese Aussage wird auch Satz von Poincaré-Brouwer genannt, da Luitzen Egbertus Jan Brouwer diesen 1912 mit Hilfe des Satzes von Poincaré bewiesen hat.
  • En matemática, y más precisamente en topología diferencial, el teorema de la bola peluda es un resultado que se aplica a esferas que en cada punto poseen un vector, visualizado como un «pelo» tangente a la superficie. Afirma que la función que asocia a cada punto de la esfera el vector admite al menos un punto de discontinuidad, lo que significa que el peinado contiene un «bucle» o «rizo», es decir que habrá zonas vacías (o calvicie).De manera más rigurosa, un campo vectorial continuo definido sobre una esfera de dimensión par, al menos igual a 2, se anula en al menos un punto. Este resultado se relaciona con los llamados teoremas de punto fijo y tiene numerosas aplicaciones en áreas como la meteorología o la computación gráfica.
  • Em topologia algébrica, o teorema da bola cabeluda estabelece que não existe campo vetorial contínuo tangente em n-esferas de dimensão par que não seja nulo em pelo menos um ponto. Para a esfera ordinária, se f é uma função contínua que mapeia um vetor em R3 a cada ponto p de uma esfera se forma que f(p) é sempre tangente à esfera e em p, então existe pelo menos um p tal que f(p) = 0. Em outras palavras, sempre que se tenta pentear uma bola cabeluda, haverá pelo menos um redemoinho de cabelo em algum lugar. Este teorema foi proposto por Henri Poincaré no final do século XIX e primeiramente demonstrado em 1912 por Brouwer.
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  • On note un champ de vecteurs tangents continu sur . Ce champ de vecteurs est une fonction définie sur la sphère et à valeurs dans l'espace euclidien de dimension , avec pair. On va démontrer au moyen d'un raisonnement par l'absurde qu'il s'annule forcément en au moins un point de la sphère. On notera la norme euclidienne d'un vecteur de , et le produit scalaire euclidien de et , appartenant à . Cas d'un champ de vecteurs continûment différentiable Un champ de vecteurs tangents à la sphère est continûment différentiable, s'il est la restriction à d'un champ continûment différentiable défini au voisinage de . Comme ici, nous sommes dans une géométrie très simple, il suffit que soit continûment différentiable sur la couronne solide . Tangent implique que, quel que soit dans la sphère, est orthogonal à . Supposons donc que ne s'annule jamais sur la sphère . Comme est continûment différentiable, sa norme est aussi continûment différentiable sur la sphère et non nulle. Par conséquent, est un champ tangent, continûment différentiable et pour tout , est de norme 1. On dit aussi qu'il est unitaire. Comme est continûment différentiable sur la couronne solide , il y est en particulier lipschitzien ; il existe donc un nombre réel L tel que, pour tous et dans , une inégalité de Lipschitz soit vérifiée: :: On définit un champ de vecteurs homogène de degré 1 sur tout en posant :: et on va montrer que est lipschitzien. Supposons tout d'abord ; alors :: d'où, en vertu de l'inégalité triangulaire, :: Par homogénéité, on obtient le cas général. Définissons une fonction sur x ]0,1] par la formule suivante: :: On voit que la fonction est homogène de degré 1 par rapport à . De plus, la norme de est facile à calculer, grâce au théorème de Pythagore: :: En d'autres termes, l'image par de la sphère de centre 0 et de rayon est incluse dans la sphère de centre 0 et de rayon , quel que soit . Pour , est visiblement nul. On va montrer qu'en fait cette image est toute la sphère ci-dessus. En vertu de l'homogénéité de par rapport à , il suffit de le montrer pour une seule valeur de , et on choisit . Cela revient à chercher une solution de l'équation :: , pour donné, de norme 1. L'idée consiste à utiliser le théorème du point fixe strictement contractant. On pose :: Attention: pour alléger les notations, on ne met pas dans les arguments de , et on le considère comme une constante. La fonction envoie l'espace euclidien, qui est complet, dans lui-même. Elle est lipschitzienne, de rapport . Par conséquent, si est strictement inférieur à , est une contraction stricte de dans lui-même. Elle possède donc un unique point fixe, satisfaisant l'équation . Donc est solution de . En particulier, d'après le calcul de la norme de effectué ci-dessus, on constate que , et donc l'image de la sphère de rayon par est la sphère de rayon 1. Par homogénéité, ceci démontre que envoie la sphère de rayon sur la sphère de rayon , et cela quel que soit . On calcule maintenant de deux manières différentes le volume de l'image par de la couronne solide de centre 0 et de rayons et . D'une part, cette image est la couronne solide de centre 0 et de rayons et , donc son volume est :: avec le volume de la boule unité en dimension . D'autre part, on sait dériver par rapport à : :: puisque est continûment différentiable en dehors de 0. Ici, est simplement l'application linéaire identité dans . Par la formule du changement de variable dans les intégrales multiples, le volume de la boule est donc donné par : :: Le déterminant est bien défini dans la formule ci-dessus, puisque est une application linéaire de dans lui-même, paramétrée par . On remarque que le déterminant ne change pas de signe, parce que est un difféomorphisme. Par continuité, il vaut 1 pour nul, et donc il est partout positif. Il est donc inutile de mettre une valeur absolue. On constate que la première expression du volume est irrationnelle par rapport à la variable , puisque est pair, alors que la deuxième est polynomiale par rapport à cette même variable. C'est la contradiction désirée, on a bien montré qu'un champ continûment différentiable tangent à la sphère s'annule forcément en un point. Cas général On suppose cette fois-ci que est un champ tangent continu sur la sphère . On peut approcher ce champ uniformément par une suite de champs tangents continûment différentiables . On utilisera une technique de convolution, qui est détaillée plus bas, bien qu'elle soit classique. D'après l'étape précédente, pour chaque , on peut trouver un dans pour lequel s'annule. Les points appartenant à l'ensemble compact , on peut trouver une sous-suite convergente de la suite des , ou, ce qui revient au même, une partie infinie de telle que la suite possède une limite le long de ; cette limite est notée . Il est immédiat que, le long de , converge vers , donc s'annule au point . Approximation continûment différentiable d'un champ de vecteurs tangent continu Soit une fonction de V dans qui a les propriétés suivantes: * est continûment différentiable; * le support de , c'est-à-dire l'adhérence de l'ensemble de tous les points où n'est pas nul est inclus dans la boule de centre 0 et de rayon 1; * l'intégrale de sur V vaut 1. Un tel est facile à construire: on choisit tout d'abord une fonction continûment dérivable, positive ou nulle sur valant 1 en 0 et 0 au-delà de 1. Si on suppose que la dérivée de cette fonction est nulle en 0, il suffit de prendre , avec :: On vérifie que la fonction ainsi définie a les propriétés requises. On pose, pour k un entier positif :: et on définit :: On montre alors que les sont continûment différentiables et convergent uniformément, quand k tend vers l'infini, vers X sur tout ensemble compact inclus dans V, donc en particulier sur . Mais a priori, il n'y a pas de raison que les soient tangents... donc on doit faire une opération supplémentaire: les projeter. On définit ainsi :: Le champ est tangent à la sphère, et il converge uniformément vers le champ , ce qui conclut la construction d'une approximation d'un champ tangent continu par une suite uniformément convergente de champs tangents continûment différentiables, quand k tend vers l'infini.
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  • oui
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  • de
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  • Jean Mawhin
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  • La démonstration de Milnor
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  • Jean Mawhin
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  • En mathématiques, le théorème de la boule chevelue est un résultat de topologie différentielle. Il s'applique à une sphère supportant en chaque point un vecteur, imaginé comme un cheveu, tangent à la surface.
  • Der Satz vom Igel (auch als Satz vom gekämmten Igel bekannt, im Englischen hairy ball theorem) oder Problem des globalen Windes ist ein Resultat aus dem mathematischen Teilgebiet der Differentialtopologie. Diese Aussage wird auch Satz von Poincaré-Brouwer genannt, da Luitzen Egbertus Jan Brouwer diesen 1912 mit Hilfe des Satzes von Poincaré bewiesen hat.
  • Em topologia algébrica, o teorema da bola cabeluda estabelece que não existe campo vetorial contínuo tangente em n-esferas de dimensão par que não seja nulo em pelo menos um ponto. Para a esfera ordinária, se f é uma função contínua que mapeia um vetor em R3 a cada ponto p de uma esfera se forma que f(p) é sempre tangente à esfera e em p, então existe pelo menos um p tal que f(p) = 0.
  • The hairy ball theorem of algebraic topology states that there is no nonvanishing continuous tangent vector field on even-dimensional n-spheres. For the ordinary sphere, or 2‑sphere, if f is a continuous function that assigns a vector in R3 to every point p on a sphere such that f(p) is always tangent to the sphere at p, then there is at least one p such that f(p) = 0.
  • En matemática, y más precisamente en topología diferencial, el teorema de la bola peluda es un resultado que se aplica a esferas que en cada punto poseen un vector, visualizado como un «pelo» tangente a la superficie.
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  • Théorème de la boule chevelue
  • Hairy ball theorem
  • Satz vom Igel
  • Sündisznótétel
  • Teorema da bola cabeluda
  • Teorema de la bola peluda
  • Teorema della palla pelosa
  • Теорема о причёсывании ежа
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