En mathématiques, le théorème de Riesz-Thorin, souvent désigné sous le nom de théorème d'interpolation de Riesz-Thorin ou encore de théorème de convexité de Riesz-Thorin, est un résultat sur l'interpolation des opérateurs. Il est nommé d'après Marcel Riesz et son élève Olof Thorin (en).Ce théorème délimite les normes d'applications linéaires définies entre deux espaces Lp.

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  • En mathématiques, le théorème de Riesz-Thorin, souvent désigné sous le nom de théorème d'interpolation de Riesz-Thorin ou encore de théorème de convexité de Riesz-Thorin, est un résultat sur l'interpolation des opérateurs. Il est nommé d'après Marcel Riesz et son élève Olof Thorin (en).Ce théorème délimite les normes d'applications linéaires définies entre deux espaces Lp. Son utilité réside dans le fait que certains de ces espaces ont une structure plus simple que d'autres, par exemple L2 qui est un espace de Hilbert, ou qu'ils offrent un cadre facilitant certains calculs, comme L1 et L∞. Par conséquent, on peut démontrer des théorèmes sur les cas les plus compliqués en commençant par les prouver dans deux cas simples, puis en utilisant le théorème de Riesz-Thorin pour passer des cas simples aux cas compliqués. Le théorème de Marcinkiewicz (en) est similaire, mais s'applique aux opérateurs quasi-linéaires.
  • In mathematics, the Riesz–Thorin theorem, often referred to as the Riesz–Thorin interpolation theorem or the Riesz–Thorin convexity theorem is a result about interpolation of operators. It is named after Marcel Riesz and his student G. Olof Thorin.This theorem bounds the norms of linear maps acting between Lp spaces. Its usefulness stems from the fact that some of these spaces have rather simpler structure than others. Usually that refers to L2 which is a Hilbert space, or to L1 and L∞. Therefore one may prove theorems about the more complicated cases by proving them in two simple cases and then using the Riesz–Thorin theorem to pass from the simple cases to the complicated cases. The Marcinkiewicz theorem is similar but applies also to a class of non-linear maps.
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  • Pour et où , on note D'après le cas extrémal de l'inégalité de Hölder, on a donc Comme , les fonctions continues à support compact sont denses dans et et le supremum peut être pris sur cet ensemble. Dans la suite, on suppose donc et continues à support compact. Maintenant pour , et on pose : * * * * Nous avons , et donc aussi pour On peut en conclure l'existence de la fonction définie par : pour . Nous affirmons en outre que la fonction ainsi définie est analytique dans la bande ouverte . Pour s'en convaincre, il suffit de vérifier que, pour et , on a : * , * * Ceci se vérifie aisément puisque , et puisque est continue à support compact. On procède de la manière pour établir le deuxième point et le troisième point est une conséquence du premier. Maintenant, on remarque que : et que : De même, on a : On en déduit que : On remarque aussi que , , et donc que . En utilisant le théorème des trois droites, on obtient que : soit encore :
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  • G. O.
  • B. S.
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  • Dunford et Schwartz 1958
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  • en
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  • Lars Hörmander
  • Nelson Dunford
prop-fr:lienÉditeur
  • John Wiley & Sons
  • MIT
  • Springer Verlag
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  • Cambridge, Mass.
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  • Bergh
  • Dunford
  • Löfström
  • Thorin
  • Hörmander
  • Glazman
  • Lyubich
  • Mitjagin [Mityagin]
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  • Nelson
  • L.
  • I. M.
  • Jörgen
  • Yu. I.
  • Jöran
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  • Mat. Sb.
  • Comm. Sem. Math. Univ. Lund [Medd. Lunds Univ. Mat. Sem.]
prop-fr:titre
  • Interpolation Spaces: An Introduction
  • An interpolation theorem for modular spaces
  • Démonstration dans le cas et
  • Linear Operators, Parts I and II
  • Convexity theorems generalizing those of M. Riesz and Hadamard with some applications
  • The Analysis of Linear Partial Differential Operators I
  • Finite-Dimensional Linear Analysis: A Systematic Presentation in Problem Form
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  • Springer
  • Wiley-Interscience
  • The M.I.T. Press
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  • En mathématiques, le théorème de Riesz-Thorin, souvent désigné sous le nom de théorème d'interpolation de Riesz-Thorin ou encore de théorème de convexité de Riesz-Thorin, est un résultat sur l'interpolation des opérateurs. Il est nommé d'après Marcel Riesz et son élève Olof Thorin (en).Ce théorème délimite les normes d'applications linéaires définies entre deux espaces Lp.
  • In mathematics, the Riesz–Thorin theorem, often referred to as the Riesz–Thorin interpolation theorem or the Riesz–Thorin convexity theorem is a result about interpolation of operators. It is named after Marcel Riesz and his student G. Olof Thorin.This theorem bounds the norms of linear maps acting between Lp spaces. Its usefulness stems from the fact that some of these spaces have rather simpler structure than others. Usually that refers to L2 which is a Hilbert space, or to L1 and L∞.
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  • Théorème de Riesz-Thorin
  • Riesz–Thorin theorem
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