En mathématiques, et plus particulièrement en analyse et en géométrie, le théorème de Hahn-Banach, dû aux deux mathématiciens Hans Hahn et Stefan Banach, est un théorème d'existence de prolongements de formes linéaires satisfaisant à certaines conditions.En permettant de prouver abstraitement l'existence de nombreuses fonctions continues, c'est un outil fondamental de l'analyse fonctionnelle.Par son interprétation géométrique en termes d'hyperplans évitant un convexe fixé, il joue également un rôle primordial dans l'étude de la géométrie des convexes, et au-delà en analyse convexe.

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  • En mathématiques, et plus particulièrement en analyse et en géométrie, le théorème de Hahn-Banach, dû aux deux mathématiciens Hans Hahn et Stefan Banach, est un théorème d'existence de prolongements de formes linéaires satisfaisant à certaines conditions.En permettant de prouver abstraitement l'existence de nombreuses fonctions continues, c'est un outil fondamental de l'analyse fonctionnelle.Par son interprétation géométrique en termes d'hyperplans évitant un convexe fixé, il joue également un rôle primordial dans l'étude de la géométrie des convexes, et au-delà en analyse convexe.
  • Em matemática, o teorema de Hahn-Banach é um resultado fundamental da análise funcional. Este teorema permite que funcionais lineares definidos em um subespaço de um espaço vetorial sejam estendidos a todo o espaço.O nome do teorema é em honra aos matemáticos Hans Hahn (austríaco) e Stefan Banach (polonês).Ao contrário do teorema de Banach-Steinhaus e de Banach-Schauder, o teorema de Hahn-Banach não requer que o espaço seja completo.
  • Der Satz von Hahn-Banach (nach Hans Hahn und Stefan Banach) aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis ist einer der Ausgangspunkte der Funktionalanalysis. Er sichert die Existenz von ausreichend vielen stetigen, linearen Funktionalen auf normierten Vektorräumen oder allgemeiner auf lokalkonvexen Räumen. Die Untersuchung eines Raums mit Hilfe der darauf definierten stetigen, linearen Funktionale führt zu einer weitreichenden Dualitätstheorie, die auf allgemeinen topologischen Vektorräumen in dieser Form nicht möglich ist, da eine zum Satz von Hahn-Banach analoge Aussage dort nicht gilt.Darüber hinaus ist der Satz von Hahn-Banach die Grundlage für viele nicht-konstruktive Existenzbeweise wie z. B. im Trennungssatz oder im Satz von Krein-Milman.
  • En matemáticas, el teorema de Hahn–Banach es una herramienta importante en análisis funcional. Permite extender cualquier operador lineal acotado definido en un subespacio vectorial al espacio vectorial que lo contiene. Debe su nombre a Hans Hahn y Stefan Banach quienes probaron este teorema independientemente en la década de 1920.El teorema aparece en la literatura en formas diversas, tanto analíticas como geométricas.
  • In mathematics, the Hahn–Banach Theorem is a central tool in functional analysis. It allows the extension of bounded linear functionals defined on a subspace of some vector space to the whole space, and it also shows that there are "enough" continuous linear functionals defined on every normed vector space to make the study of the dual space "interesting". Another version of Hahn–Banach theorem is known as Hahn–Banach separation theorem or the separating hyperplane theorem, and has numerous uses in convex geometry. It is named for Hans Hahn and Stefan Banach who proved this theorem independently in the late 1920s, although a special case was proved earlier (in 1912) by Eduard Helly, and a general extension theorem from which the Hahn–Banach theorem can be derived was proved in 1923 by Marcel Riesz.
  • In de functionaalanalyse, een deelgebied van de wiskunde, is de stelling van Hahn-Banach een centrale stelling. De stelling van Hahn-Banach staat de uitbreiding van begrensde lineaire operatoren toe. Deze begrensde lineaire operatoren worden gedefinieerd op een deelruimte, die bestaat uit een aantal vectorruimten, op de gehele ruimten. De stelling laat ook zien dat er "genoeg" continue lineaire functionalen zijn gedefinieerd op elke genormeerde vectorruimten om de studie van de duale vectorruimten interessant te maken. Een andere versie van de stelling van Hahn-Banach staat bekend als de scheidingsstelling van Hahn-Banach (of de scheiden van het hypervlak stelling) en heeft tal van toepassingen in de convexe meetkunde. De stelling is vernoemd naar Hans Hahn en Stefan Banach, die de stelling eind jaren twintig van de twintigste eeuw onafhankelijk van elkaar bewezen. Ironisch genoeg werd de stelling al eerder, in 1912, door Eduard Helly bewezen.
  • Теоре́мой Ха́на — Ба́наха называют несколько связанных между собой классических результатов функционального анализа: теорему о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты, теорему о разделении выпуклых множеств и теорему о непрерывном или положительном продолжении линейного функционала и т. п.
  • Twierdzenie Hahna-Banacha – podstawowe twierdzenie analizy funkcjonalnej sformułowane i udowodnione niezależnie przez Hansa Hahna i Stefana Banacha w latach 20. XX wieku. Twierdzenie to mówi o możliwości rozszerzenia ograniczonych funkcjonałów liniowych z podprzestrzeni przestrzeni unormowanej na całą przestrzeń, a także o bogatej strukturze przestrzeni sprzężonej.
  • In matematica, in particolare in analisi funzionale, il teorema di Hahn–Banach è un teorema che permette di estendere operatori lineari limitati definiti su un sottospazio di qualche spazio vettoriale a tutto lo spazio, e mostra inoltre che ci sono sufficienti funzionali lineari continui definiti su ogni spazio normato da rendere lo studio dello spazio duale interessante. È così chiamato grazie a Hans Hahn e Stefan Banach, che provarono questo teorema indipendentemente l'uno dall'altro negli anni venti.
  • 数学におけるハーン-バナッハの定理(ハーン-バナッハのていり、英: Hahn-Banach theorem)は、関数解析学の分野における中心的な道具で、ベクトル空間の部分空間上で定義される有界線形汎関数が全空間への拡張できることについて述べたものである。これにより、どのようなノルム線形空間においても、その上で定義される連続線形汎関数が、双対空間の研究を「面白い」ものにするに「十分」なほどたくさんあることがわかる。ハーン-バナッハの定理の別形態のものとして、ハーン-バナッハの分離定理あるいは分離超平面定理と呼ばれるものがあり、凸幾何学の分野で多く用いられている。定理の名前の由来は、1920年代後半にそれぞれ独立にこの定理を証明したハンス・ハーンとステファン・バナッハである。定理の特別な場合については、より早い段階(1912年)でエードゥアルト・ヘリーによって証明されており、またこの定理が導出されるようなある一般の拡張定理が、1923年にマルツェル・リースによって証明されていた。
  • 한-바나흐 정리(Hahn-Banach theorem, -定理)는 함수해석학의 정리다.
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  • Quitte à faire préalablement une translation, on supposera que l'origine est dans . Dès lors, puisque ne rencontre pas , c'est donc un sous-espace affine évitant l'origine. Notons la jauge du convexe . Elle est sous-linéaire et donc convexe comme toute jauge ; par définition même d'une jauge il est évident que pour tout dans , . Comme on a supposé ouvert, on peut aller un peu plus loin : d'une part est un voisinage de 0 et toute demi-droite ouverte issue de 0 contient donc des points de , ce dont on déduit que ne prend pas la valeur ; d'autre part on peut améliorer l'inégalité large et préciser sans peine que les points de sont caractérisés par l'inéquation stricte . Voilà pour la fonction sous-linéaire. Notons le sous-espace vectoriel engendré par . Puisque , la sous-variété affine est de codimension 1 dans et il existe une forme linéaire sur telle que soit la partie de d'équation . Voilà pour la forme linéaire à prolonger. Enfin, pour dans , tandis que . La condition est donc vérifiée sur . En jouant sur l'homogénéité positive de et de , on étend son domaine de validité à un demi-espace strict de ; sur l'autre demi-espace prend des valeurs négatives ou nulles tandis que, comme partout, est à valeurs positives ou nulles. L'inégalité est donc vraie partout dans . Toutes les hypothèses de la version dite « analytique » du théorème sont en place. Appliquons-la donc. Elle nous offre une nouvelle forme linéaire encore notée , cette fois définie sur tout entier. Notons l'hyperplan affine d'équation : par construction, c'est bien un hyperplan contenant . Soit maintenant un point de : pour ce point, et . Donc , et n'est pas dans . On a bien vérifié que et ne se rencontrent pas. Enfin les hyperplans d'un espace vectoriel topologique sont nécessairement fermés ou denses. Or n'est pas dense puisqu'il ne rencontre pas le voisinage de 0. C'est donc qu'il est fermé.
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  • Barry Simon
  • Michael C. Reed
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  • en
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  • B. Simon
  • M. Reed
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  • Démonstration de la forme géométrique à partir de la forme analytique
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  • En mathématiques, et plus particulièrement en analyse et en géométrie, le théorème de Hahn-Banach, dû aux deux mathématiciens Hans Hahn et Stefan Banach, est un théorème d'existence de prolongements de formes linéaires satisfaisant à certaines conditions.En permettant de prouver abstraitement l'existence de nombreuses fonctions continues, c'est un outil fondamental de l'analyse fonctionnelle.Par son interprétation géométrique en termes d'hyperplans évitant un convexe fixé, il joue également un rôle primordial dans l'étude de la géométrie des convexes, et au-delà en analyse convexe.
  • Em matemática, o teorema de Hahn-Banach é um resultado fundamental da análise funcional. Este teorema permite que funcionais lineares definidos em um subespaço de um espaço vetorial sejam estendidos a todo o espaço.O nome do teorema é em honra aos matemáticos Hans Hahn (austríaco) e Stefan Banach (polonês).Ao contrário do teorema de Banach-Steinhaus e de Banach-Schauder, o teorema de Hahn-Banach não requer que o espaço seja completo.
  • En matemáticas, el teorema de Hahn–Banach es una herramienta importante en análisis funcional. Permite extender cualquier operador lineal acotado definido en un subespacio vectorial al espacio vectorial que lo contiene. Debe su nombre a Hans Hahn y Stefan Banach quienes probaron este teorema independientemente en la década de 1920.El teorema aparece en la literatura en formas diversas, tanto analíticas como geométricas.
  • Теоре́мой Ха́на — Ба́наха называют несколько связанных между собой классических результатов функционального анализа: теорему о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты, теорему о разделении выпуклых множеств и теорему о непрерывном или положительном продолжении линейного функционала и т. п.
  • Twierdzenie Hahna-Banacha – podstawowe twierdzenie analizy funkcjonalnej sformułowane i udowodnione niezależnie przez Hansa Hahna i Stefana Banacha w latach 20. XX wieku. Twierdzenie to mówi o możliwości rozszerzenia ograniczonych funkcjonałów liniowych z podprzestrzeni przestrzeni unormowanej na całą przestrzeń, a także o bogatej strukturze przestrzeni sprzężonej.
  • 数学におけるハーン-バナッハの定理(ハーン-バナッハのていり、英: Hahn-Banach theorem)は、関数解析学の分野における中心的な道具で、ベクトル空間の部分空間上で定義される有界線形汎関数が全空間への拡張できることについて述べたものである。これにより、どのようなノルム線形空間においても、その上で定義される連続線形汎関数が、双対空間の研究を「面白い」ものにするに「十分」なほどたくさんあることがわかる。ハーン-バナッハの定理の別形態のものとして、ハーン-バナッハの分離定理あるいは分離超平面定理と呼ばれるものがあり、凸幾何学の分野で多く用いられている。定理の名前の由来は、1920年代後半にそれぞれ独立にこの定理を証明したハンス・ハーンとステファン・バナッハである。定理の特別な場合については、より早い段階(1912年)でエードゥアルト・ヘリーによって証明されており、またこの定理が導出されるようなある一般の拡張定理が、1923年にマルツェル・リースによって証明されていた。
  • 한-바나흐 정리(Hahn-Banach theorem, -定理)는 함수해석학의 정리다.
  • In de functionaalanalyse, een deelgebied van de wiskunde, is de stelling van Hahn-Banach een centrale stelling. De stelling van Hahn-Banach staat de uitbreiding van begrensde lineaire operatoren toe. Deze begrensde lineaire operatoren worden gedefinieerd op een deelruimte, die bestaat uit een aantal vectorruimten, op de gehele ruimten.
  • Der Satz von Hahn-Banach (nach Hans Hahn und Stefan Banach) aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis ist einer der Ausgangspunkte der Funktionalanalysis. Er sichert die Existenz von ausreichend vielen stetigen, linearen Funktionalen auf normierten Vektorräumen oder allgemeiner auf lokalkonvexen Räumen.
  • In matematica, in particolare in analisi funzionale, il teorema di Hahn–Banach è un teorema che permette di estendere operatori lineari limitati definiti su un sottospazio di qualche spazio vettoriale a tutto lo spazio, e mostra inoltre che ci sono sufficienti funzionali lineari continui definiti su ogni spazio normato da rendere lo studio dello spazio duale interessante.
  • In mathematics, the Hahn–Banach Theorem is a central tool in functional analysis. It allows the extension of bounded linear functionals defined on a subspace of some vector space to the whole space, and it also shows that there are "enough" continuous linear functionals defined on every normed vector space to make the study of the dual space "interesting".
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  • Théorème de Hahn-Banach
  • Hahnova-Banachova věta
  • Hahn–Banach theorem
  • Satz von Hahn-Banach
  • Stelling van Hahn-Banach
  • Teorema de Hahn-Banach
  • Teorema de Hahn–Banach
  • Teorema di Hahn-Banach
  • Twierdzenie Hahna-Banacha
  • Теорема Хана — Банаха
  • ハーン-バナッハの定理
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